结论：员工劳动合同到期，单位提前一个月书面通知员工不续签的，应当依法向劳动者支付经济补偿金，而非赔偿金。具体支付标准依据劳动者在本单位的工作年限和月工资水平确定。若合同到期后单位未及时处理续签或终止事宜，或存在其他违法情形，则可能需承担包括支付赔偿金在内的法律责任。
详细分析：
用人单位提出不续签的情况：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同而劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止时，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
劳动者提出不续签的情况：
- 若用人单位维持或提高条件续签劳动合同，而劳动者不同意续签，则用人单位无需支付经济补偿。
- 若用人单位降低劳动合同约定条件续签，劳动者不同意续签的，用人单位仍需按照上述标准支付经济补偿。
经济补偿金的特殊规定：
- 如果劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿金的标准应按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
单位的法律责任：
- 单位在劳动合同到期前应及时处理续签或终止事宜，并遵守相关法律法规。若合同到期后单位未续签合同也未及时通知员工，或存在其他违法情形（如无故辞退员工、未按规定支付经济补偿等），则可能需要承担相应的法律责任，包括但不限于支付赔偿金。赔偿金通常是经济补偿标准的二倍。
实际案例说明：
- 假设张三在某公司工作了3年零8个月，劳动合同到期前一个月公司通知不再续签。根据法律规定，公司应支付给张三4个月工资作为经济补偿。
- 若李四的劳动合同即将到期，公司提前通知续签且条件不低于原合同，但李四因个人原因拒绝，则公司无需支付经济补偿。
- 王五的情况则是公司降低续签条件导致他不同意续签，此时公司需按照王五的工作年限支付经济补偿。
建议：
- 对于用人单位而言，在劳动合同到期前，应依法履行通知义务，并根据实际情况决定是否续签劳动合同。若决定不续签，应按规定支付经济补偿金，以避免不必要的法律纠纷。
- 对于劳动者而言，应了解自己的权益，确保在合同终止时得到应有的保障。如有任何疑问或争议，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。