产品标签存在虚假内容时，处罚的相对人既可能是生产商，也可能是销售商，具体取决于虚假标签的来源及双方的责任情况。以下从不同角度进行分析：
生产商责任：
- 如果产品标签上的虚假内容是由生产商在生产过程中直接标注或提供的，那么生产商显然应当承担主要责任。生产商作为产品的制造者，有义务确保产品标签上的信息真实、准确，不得误导消费者。
- 根据相关法律法规，生产商如果故意或过失地在产品标签上标注虚假内容，可能会面临行政处罚，如罚款、没收违法所得、责令停产停业等。同时，如果因此给消费者造成损害，生产商还可能需要承担民事赔偿责任。
销售商责任：
- 销售商在销售产品时，也有义务对产品标签进行审查，确保标签上的信息真实、准确。如果销售商明知或应知产品标签存在虚假内容而仍然销售，那么销售商也可能需要承担相应的责任。
- 在某些情况下，销售商可能因为对产品标签的审查不严或疏忽大意，导致虚假标签的产品流入市场。此时，销售商可能会因违反相关法律法规而面临行政处罚，如罚款、没收违法所得等。同时，如果因此给消费者造成损害，销售商也可能需要承担民事赔偿责任。
共同责任：
- 在某些情况下，生产商和销售商可能共同对产品标签的虚假内容负责。例如，如果生产商和销售商在产品标签的制作和审核过程中存在共同故意或过失，导致标签上的信息虚假，那么他们可能需要共同承担行政责任和民事责任。
法律建议：
- 对于生产商而言，应严格遵守相关法律法规，确保产品标签上的信息真实、准确。在生产过程中，应加强对产品标签的审核和管理，避免出现虚假内容。
- 对于销售商而言，在销售产品前应对产品标签进行仔细审查，确保标签上的信息符合法律法规的要求。如果发现产品标签存在虚假内容，应及时与生产商沟通并停止销售该产品。
- 如果消费者因购买到标签虚假的产品而受到损害，可以向生产商或销售商主张民事赔偿。在主张赔偿时，消费者应保留好相关证据，如购买凭证、产品标签照片等，以便在需要时提供证明。
可能的法律后果：
- 如果生产商或销售商因产品标签虚假而受到行政处罚，可能会面临罚款、没收违法所得、责令停产停业等后果。
- 如果因此给消费者造成损害，生产商或销售商还可能需要承担民事赔偿责任，包括赔偿消费者的直接损失和间接损失等。
总之，产品标签存在虚假内容时，处罚的相对人取决于虚假标签的来源及双方的责任情况。生产商和销售商都应严格遵守相关法律法规，确保产品标签上的信息真实、准确，以维护消费者的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。