结论：私人临时雇佣关系中，能否随时辞退取决于双方建立的用工关系类型及具体情况。以下分情况详细说明：

1. 非全日制用工关系

   • 可以随时辞退：若双方构成非全日制用工（如每日工作不超过4小时、每周累计不超过24小时），根据《劳动合同法》第七十一条，双方均可随时通知对方终止用工，且用人单位无需支付经济补偿。例如，家政服务人员按小时计费、每日工作3小时，雇主或服务人员均可随时结束合作。

2. 全日制劳动关系

   • 不可随时辞退：若临时雇佣实际构成全日制劳动关系（如每日工作8小时、按月支付工资），则需遵守《劳动合同法》的辞职程序：
     • 试用期：需提前3日书面通知用人单位；
     • 正式员工：需提前30日书面通知用人单位。
   • 违法辞退后果：若未履行通知程序，可能需赔偿用人单位因突然离职导致的损失（如项目延误、招聘成本等）。例如，建筑工地临时工未提前通知离职，导致工地停工，可能需承担部分损失。

3. 特殊情形下的随时辞退权 无论是否为全日制用工，若用人单位存在以下过错，劳动者可立即解除劳动关系并要求经济补偿：

   • 以暴力、威胁或非法限制人身自由强迫劳动；
   • 违章指挥、强令冒险作业危及人身安全；
   • 未提供劳动保护或劳动条件；
   • 未及时足额支付劳动报酬。 例如：雇主要求临时工在无安全防护措施的高空作业，临时工有权拒绝并立即离职，同时可主张经济补偿。

4. 未签订书面劳动合同的情形

   • 若双方未签订书面合同，劳动者可随时辞职并当场离职，且有权依据《劳动合同法》第八十二条，要求用人单位支付双倍工资差额（自用工满1个月的次日起计算，最长不超过11个月）。 例如：临时工工作3个月未签合同，可主张后2个月的双倍工资差额。

建议与风险提示：

1. 明确用工关系性质：建议双方在雇佣初期通过书面协议明确工作性质（非全日制/全日制）、工作时间、报酬支付方式等，避免争议。
2. 保留证据：劳动者应保存工资支付记录、工作安排通知等证据，以证明用工关系类型及用人单位过错（如需主张经济补偿）。
3. 协商优先：若需提前离职，建议与雇主协商一致，避免因违法解除承担赔偿责任。

后续行动指引： 若您遇到具体纠纷（如被违法辞退、未获经济补偿等），可直接向我咨询，我将结合证据材料为您分析维权路径及赔偿计算方式。