公安机关在接到投诉控告后，其处理的期限主要依据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定来确定，具体处理期限会因案件性质和复杂程度而有所不同。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：

1. 一般刑事案件的受理与初查期限：

   • 公安机关在接到报案、控告、举报或自首材料后，会迅速进行审查。对于属于自己管辖的案件，应当立即进行初查，以判断是否有犯罪事实发生，是否需要追究刑事责任。这一初查过程通常没有严格的法定时限，但公安机关会力求迅速、高效地进行，以保障公民的合法权益。

2. 立案审查期限：

   • 如果初查后认为有犯罪事实需要追究刑事责任，公安机关会决定立案。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对立案材料的审查，原则上应在七日以内作出决定。对于重大、复杂线索，经县级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以延长至三十日。特别重大、复杂线索，经地（市）级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以再延长三十日。

3. 侦查期限：

   • 一旦立案，公安机关将进入侦查阶段。侦查期限的长短取决于案件的复杂性和侦查工作的进展。对于一般刑事案件，侦查期限通常为二个月；案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。对于交通十分不便的边远地区的重大复杂案件，重大的犯罪集团案件，流窜作案的重大复杂案件，犯罪涉及面广、取证困难的重大复杂案件，在上述期限届满不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或者决定，可以延长二个月。对犯罪嫌疑人可能判处十年有期徒刑以上刑罚，在上述期限届满仍不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或者决定，可以再延长二个月。

4. 特殊情况下的处理期限：

   • 在某些特殊情况下，如涉及国家安全、恐怖活动等重大案件，公安机关的处理期限可能会根据相关法律法规和实际情况进行适当调整。此外，如果案件在侦查过程中发现不应对犯罪嫌疑人追究刑事责任，公安机关会及时撤销案件，并告知相关当事人。

5. 对处理期限的监督与救济：

   • 如果公民认为公安机关在处理投诉控告时存在超期未办、拖延不决等问题，可以向公安机关的上级部门或纪检监察机关进行投诉举报。同时，公民也可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。

建议：

• 如果您对公安机关的处理期限有疑问或认为存在不当行为，建议及时与公安机关沟通了解情况，并保留好相关证据材料。
• 在处理过程中，保持冷静和理性，依法维护自己的权益。如有需要，可以向我咨询具体的法律策略和建议。

总结：公安机关在接到投诉控告后的处理期限因案件性质和复杂程度而异，但都会遵循法定程序和时限要求。如果您对处理期限有疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。