结论前置：在特定条件下，行政处罚信息可以申请不公示，但这一申请需严格遵循相关法律法规及规定流程。以下是对这一问题的详细解读：
一、可以申请不公示的法律依据与情形
法律依据：
- 《市场监督管理行政处罚信息公示规定》等相关法规，为企业提供了在特定条件下的救济途径，允许企业申请行政处罚信息不予以公示或停止公示。
可以申请不公示的具体情形：
- 涉及商业秘密、个人隐私等敏感信息：若行政处罚信息包含商业秘密或个人隐私，企业有权申请不予公示。市场监督管理部门将进行审查，若权利人同意公开或市场监督管理部门认为不公开可能对公共利益造成重大影响，则可能予以公开。
- 受到较轻行政处罚且符合条件：对于仅受到警告、通报批评和较低数额罚款的行政处罚，同时满足以下任一条件的企业，可向作出行政处罚决定的市场监督管理部门申请不公示：
- 在行政处罚决定作出后二十个工作日内主动履行；
- 在行政处罚决定作出后至公示前已主动改正违法行为，并消除危害后果和不良影响。
二、申请不公示的流程及后续处理
申请提交：
- 企业应向市场监督管理部门提交书面申请及守信承诺书，明确说明申请不公示的理由和依据。申请书应包含企业基本信息、处罚决定书文号、作出机关、处罚日期及简要事实、申请理由、证明材料清单、承诺声明等关键内容。
审核决定：
- 市场监督管理部门将在收到申请之日起五个工作日内作出是否予以不公示的决定。若决定不公示，将及时停止相关信息公示。
虚假申请的后果：
- 若企业隐瞒真实情况、提供虚假材料或以欺骗等不正当手段取得行政处罚信息不公示，市场监督管理部门将撤销原决定，恢复公示，并可能依法追究企业的法律责任。
三、不予行政处罚的公示问题
一般原则：
- 不予行政处罚的公示并非普遍强制要求，而是需根据具体情况、相关法律法规以及行政实践来判断。行政机关应权衡公众知情权、行政透明度与个人隐私、商业秘密等敏感信息的保护之间的关系，依法作出是否公示的决定。
特殊情况：
- 在不予行政处罚的决定中，如果涉及个人隐私、商业秘密等敏感信息，行政机关应当依法采取适当的保密措施，避免泄露相关信息。此时，公示可能不是最佳选择。
- 部分法律法规可能对不予行政处罚决定的公示提出了具体要求或限制。行政机关在实际操作中应根据相关法律法规的规定来确定是否需要公示以及公示的方式和范围。
四、综合建议
申请前准备：
- 企业在申请行政处罚信息不公示前，应仔细评估自身情况，确保符合相关法律法规规定的申请条件。同时，准备好完整的申请材料，包括申请书、证明材料等。
遵循流程操作：
- 企业应严格按照规定流程提交申请，并积极配合市场监督管理部门的审核工作。在申请过程中，保持与市场监督管理部门的沟通，及时了解申请进展情况。
加强合规管理：
- 建议企业在日常经营中加强合规管理，避免违法违规行为的发生。通过建立健全内部管理制度、加强员工培训等措施，降低可能面临的行政处罚风险。
总结：行政处罚信息在特定条件下可以申请不公示，但企业需严格遵循相关法律法规及规定流程。在申请过程中，企业应确保提交的材料真实、完整，并严格按照规定流程操作。同时，建议企业在日常经营中加强合规管理，以减少可能面临的行政处罚风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。