结论：政府在荒山上栽树绿化，是否需要给您家补偿，主要取决于您家承包荒山的合同条款、当地政策以及造林活动的性质。以下从多个角度为您详细分析：

一、合同条款

1. 合同约定：首先，需要查看您家与政府或相关部门签订的承包合同。如果合同中明确规定了政府在荒山上进行绿化活动时需要给予您家补偿，那么政府应当按照合同约定履行补偿义务。
2. 合同解释：如果合同中没有明确约定补偿事宜，但合同中包含了关于土地使用、收益分配等条款，这些条款可能间接影响到您家是否应获得补偿。此时，需要依据合同解释的原则，结合合同目的、交易习惯等，来判断您家是否有权获得补偿。

二、当地政策

1. 造林补贴政策：根据公域知识，荒山种树在多数情况下可以获得政府的补贴，但具体的补贴政策、标准和流程会因地区而异。如果当地政府有明确的造林补贴政策，且您家承包的荒山符合补贴条件，那么您家有权申请并获得相应的补贴。
2. 生态补偿政策：除了造林补贴外，一些地区还可能实施生态补偿政策，对因生态保护而受到损失的个人或单位给予补偿。如果政府在荒山上栽树绿化属于生态保护行为，且您家因此受到了损失，那么您家可能有权获得生态补偿。

三、造林活动性质

1. 公益性质：如果政府在荒山上栽树绿化是出于公益目的，如改善生态环境、防止水土流失等，且您家没有因此受到直接经济损失，那么政府可能不需要给予您家补偿。但这种情况下，政府可能会通过其他方式（如提供技术支持、优先安排其他农业项目等）对您家进行扶持。
2. 商业性质：如果政府或相关部门在荒山上栽树绿化是出于商业目的，如开发林业资源、发展林业经济等，且您家因此受到了直接经济损失，那么政府应当给予您家相应的补偿。补偿标准可能因地区、树种、造林密度等因素而异。

四、建议与注意事项

1. 了解政策：在申请补偿前，建议您家详细了解当地的造林补贴政策和生态补偿政策，确保造林活动符合相关政策要求。
2. 保留证据：保留好与承包荒山相关的合同、权属证明等文件，以及政府进行绿化活动的相关通知、公告等证据，以便在申请补偿时提供有力支持。
3. 沟通协商：与政府或相关部门保持沟通联系，及时了解补偿申请的最新动态和要求。如果可能的话，可以尝试与政府或相关部门进行协商，争取达成合理的补偿协议。

总结：政府在荒山上栽树绿化是否需要给您家补偿，取决于合同条款、当地政策以及造林活动的性质。建议您家在了解相关政策的基础上，与政府或相关部门进行沟通协商，以争取获得合理的补偿。如果您家在申请补偿过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。