宠物饲料益生菌宣传具有呕吐、便秘、止泻功效是否合法，需分情况讨论：

1. 若宣传内容有科学依据且真实：

   • 根据《中华人民共和国广告法》的相关规定，广告内容应当真实、合法，不得含有虚假或者引人误解的内容，不得欺骗、误导消费者。如果宠物饲料中的益生菌确实经过科学验证，具有缓解呕吐、便秘或止泻的功效，并且宣传内容与此科学验证结果相符，那么这种宣传是合法的。
   • 举例：若某宠物饲料品牌通过临床试验或科学研究证实，其产品中的特定益生菌株能有效改善宠物的肠道健康，减少呕吐和便秘情况，并在宣传中明确标注了这一科学依据和试验结果，那么这种宣传就是合法的。

2. 若宣传内容缺乏科学依据或虚假：

   • 如果宠物饲料益生菌的宣传内容缺乏科学依据，或者故意夸大其功效，甚至虚构效果，那么这种宣传就违反了《中华人民共和国广告法》的规定，属于不合法行为。
   • 法律后果：根据《中华人民共和国广告法》第五十五条，发布虚假广告的，由市场监督管理部门责令停止发布广告，责令广告主在相应范围内消除影响，处广告费用三倍以上五倍以下的罚款，广告费用无法计算或者明显偏低的，处二十万元以上一百万元以下的罚款；情节严重的，除罚款外，还可以吊销营业执照，并由广告审查机关撤销广告审查批准文件、一年内不受理其广告审查申请。
   • 举例：若某宠物饲料品牌宣称其产品能“立即止泻”，但实际上并无科学依据支持这一说法，或者该产品并未经过相关试验验证其止泻效果，那么这种宣传就是虚假的，不合法。

3. 特殊注意事项：

   • 宠物饲料作为特殊商品，其宣传还需符合《宠物饲料管理办法》等相关规定。这些规定可能对宠物饲料的标签、说明书、广告等内容有具体要求，如必须标明主要成分、使用方法、注意事项等。
   • 建议：在宣传宠物饲料益生菌时，除了确保内容真实合法外，还应仔细研究并遵守相关法规和标准，避免因违规宣传而引发法律风险。

总结与建议：宠物饲料益生菌宣传具有呕吐、便秘、止泻功效时，必须确保宣传内容有科学依据且真实合法。若缺乏科学依据或故意夸大功效，则可能构成虚假宣传，面临法律处罚。因此，建议宠物饲料品牌在宣传前进行充分的市场调研和科学验证，确保宣传内容的真实性和合法性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。