旅客在旅馆内私自留客住宿且局部改正的，其处罚方式主要依据相关法律法规对旅馆业的管理规定来确定。以下是对此问题的详细分析：

1. 法律法规依据：

   • 根据《旅馆业治安管理办法》的相关规定，旅馆接待旅客住宿必须登记。登记时，应当查验旅客的身份证件，按规定的项目如实登记。同时，旅馆应严格住宿登记制度，严禁旅客私自留客住宿或者转让床位。

2. 处罚方式：

   • 若旅馆违反上述规定，允许旅客私自留客住宿，公安机关可依据《旅馆业治安管理办法》的相关规定，对旅馆进行处罚。具体处罚措施可能包括警告、罚款等。警告是对旅馆的一种轻微处罚，旨在提醒其遵守相关规定；罚款则是对旅馆违规行为的直接经济制裁，罚款金额根据违规情节的严重程度而定。
   • 在旅客已经局部改正（即部分纠正了私自留客住宿的行为）的情况下，公安机关在处罚时可能会考虑这一因素，但处罚的严厉程度仍取决于违规行为的整体性质和后果。如果局部改正并未完全消除违规行为的影响，或者违规行为本身性质严重，公安机关仍可能依法给予较重的处罚。

3. 实际操作建议：

   • 对于旅馆而言，应严格遵守相关法律法规，加强内部管理，确保旅客住宿登记制度的严格执行，避免出现私自留客住宿等违规行为。
   • 若旅馆发现旅客有私自留客住宿的行为，应及时制止并报告公安机关，以减轻自身可能面临的法律责任。
   • 旅客也应自觉遵守旅馆的住宿规定，不私自留客住宿，共同维护旅馆业的良好秩序。

总结来说，旅客在旅馆内私自留客住宿且局部改正的，旅馆仍可能面临公安机关的警告、罚款等处罚，具体处罚措施取决于违规行为的性质和后果。旅馆应加强内部管理，旅客也应自觉遵守规定，以共同维护良好的住宿环境。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。