关于父母有案底是否会对子女教师提拔产生影响的问题，这确实是一个涉及政审环节和岗位特殊性的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确“案底”的定义。在公安系统内网上留下的个人不良信息和记录，通常被视作案底。这些记录可能包括因犯罪行为而受到的刑事处罚等。

接下来，我们分析教师提拔的政审环节。在一般的教师编制或提拔过程中，政审主要关注的是政审对象本人，即需要证明你本人“无犯罪记录”。对于父母或家人的犯罪记录，通常并不直接作为政审的否决条件。也就是说，在大多数情况下，父母有案底并不会直接影响子女的教师提拔。

然而，也存在一些特殊情况。例如，在填写履历表时，如果父母或配偶栏出现“正在服刑”的状态，这可能会对政审产生一定影响。但这种情况相对较少，且通常只涉及正在服刑的直系亲属。对于已经刑满释放的亲属，只要不主动提及，大概率不会对子女的教师提拔产生直接影响。

此外，我们还需要考虑不同岗位和单位的特殊性。对于一些性质比较特殊的单位，如公检法、国安系统等，政审的门槛和条件可能会明显高一些。这些单位可能会要求政审对象提供直系亲属的“无犯罪记录证明”，以进行更全面的审查。但在教师提拔的常规流程中，这种情况并不常见。

从更宏观的角度来看，政审的目的并非惩罚，而是为了保证一些重要政府机关、单位的纯洁性和公正性，同时预防潜在的报复社会性行为。因此，在政审过程中，虽然会关注政审对象的家庭背景，但并不会“一刀切”地否定所有有犯罪记录家庭背景的候选人。

综上所述，父母有案底在大多数情况下并不会直接影响子女的教师提拔。但在填写履历表或涉及特殊岗位时，仍需注意相关信息的准确性和完整性。同时，我们也应该理解政审的初衷和目的，以更开放和包容的心态看待这一问题。