结论：起诉的人（即原告）死亡后，其名下的公司是否还能继续起诉，取决于多种因素，包括公司的法律地位、继承情况以及诉讼的具体性质。以下从不同角度进行分析：
一、公司的法律地位与诉讼资格
公司作为独立法人：
- 如果公司是独立的法人实体，拥有独立的法律地位，那么公司的诉讼资格并不因原告（即公司股东或法定代表人）的死亡而自动丧失。公司可以继续以自己的名义进行诉讼，包括继续已经开始的诉讼或发起新的诉讼。
公司非独立法人或诉讼与公司无关：
- 如果公司并非独立法人（如个人独资企业、合伙企业等），或者诉讼本身与公司无关，而是原告个人的诉讼，那么原告的死亡将直接影响诉讼的进行。在这种情况下，可能需要考虑继承问题或诉讼的终止与变更。
二、继承问题对诉讼的影响
原告有继承人：
- 如果原告有继承人，且诉讼涉及原告的个人财产或权益，那么继承人可以继承原告的诉讼地位，继续参与诉讼。这通常涉及诉讼的变更或追加当事人，以确保诉讼的连续性和公正性。
- 在公司作为原告的情况下，如果原告是公司的唯一股东或主要股东，且其死亡导致公司股权发生变更，那么新的股东或公司管理层可能需要决定是否继续诉讼。
原告无继承人或继承人放弃诉讼：
- 如果原告无继承人，或者继承人明确表示放弃诉讼权利，那么诉讼可能会因缺乏适格的原告而终止。然而，在公司作为独立法人的情况下，这种情况通常不会影响公司本身的诉讼资格。
三、诉讼的具体性质与处理方式
诉讼涉及公司权益：
- 如果诉讼直接涉及公司的权益（如合同纠纷、知识产权纠纷等），且公司作为独立法人参与诉讼，那么原告的死亡不会影响诉讼的继续进行。公司可以继续以自己的名义维护其合法权益。
诉讼涉及原告个人权益：
- 如果诉讼主要涉及原告个人的权益（如人身损害赔偿、婚姻家庭纠纷等），且与公司无关，那么原告的死亡将导致诉讼的终止或变更。在这种情况下，可能需要考虑由继承人继承诉讼地位或提起新的诉讼。
四、实际操作建议
- 确认公司法律地位：首先确认公司是否为独立法人，以及诉讼是否涉及公司权益。
- 了解继承情况：如果诉讼涉及原告个人权益，需要了解原告的继承情况，包括是否有继承人以及继承人的意愿。
- 咨询专业律师：在处理此类复杂情况时，建议咨询专业律师以获取具体的法律建议和操作指导。律师可以根据具体情况分析诉讼的可行性、风险以及可能的法律后果，并帮助制定合适的诉讼策略。
总结来说，起诉的人死亡后，其名下的公司是否还能继续起诉取决于公司的法律地位、继承情况以及诉讼的具体性质。在处理此类问题时，应综合考虑多种因素，并咨询专业律师以获取具体的法律建议。如果你有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。