在老人未留遗嘱且无其他特殊情形时，其银行存款原则上由儿子继承；但若存在遗嘱、其他继承人或债务等特殊情况，继承结果会不同。具体分析如下：

1. 法定继承情形：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条，继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理。在老人未留遗嘱，且儿子是唯一的第一顺序法定继承人（配偶、父母均已去世，且无其他子女、父母生存的子女先于老人死亡且无代位继承人的情形）时，老人的银行存款由儿子继承。
2. 遗嘱继承情形：如果老人在生前立有合法有效的遗嘱，指定了银行存款的继承人，那么应当按照遗嘱的内容进行继承。即使儿子是唯一子女，但如果遗嘱中指定了其他继承人或受遗赠人，银行存款将按照遗嘱的指定进行分配。
3. 存在其他继承人情形：如果老人除了儿子外，还有其他第一顺序法定继承人（如配偶、父母或其他子女），且这些继承人未放弃继承权，那么银行存款将由所有第一顺序法定继承人共同继承，通常按照均等原则分配，但也可以协商不均等分配。
4. 债务清偿情形：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。如果老人去世时留有债务，儿子在继承银行存款时，需要以继承的银行存款实际价值为限清偿老人的债务。如果银行存款不足以清偿债务，儿子无需以个人财产清偿超出部分，但自愿清偿的除外。