结论：盗窃案件中，若37天取保候审后相对不起诉，则不会留下案底；若最终被判缓刑，则会留下案底。

详细分析：

1. 相对不起诉的情况：

   • 法律背景：相对不起诉，也称为酌定不起诉，是指人民检察院对于犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，可以作出不起诉决定。
   • 法律后果：在相对不起诉的情况下，由于犯罪嫌疑人并未被法院定罪，因此不会留下案底。案底通常指的是犯罪记录，即某人因犯罪行为被法院判决有罪后留下的记录。
   • 具体到盗窃案件：如果盗窃案件中的犯罪嫌疑人在37天取保候审后，被检察院作出相对不起诉决定，那么他/她就不会留下案底。

2. 判缓刑的情况：

   • 法律背景：缓刑是指对被判处一定刑罚的犯罪分子，在其具备法定条件的情况下，在一定考验期内暂不执行原判刑罚，如果考验期内遵守规定，原判刑罚就不再执行的一种制度。
   • 法律后果：判缓刑意味着犯罪分子已经被法院定罪，只是由于符合缓刑条件，刑罚暂不执行。因此，判缓刑会留下案底，因为犯罪分子已经被法院判决有罪。
   • 具体到盗窃案件：如果盗窃案件中的犯罪嫌疑人在37天取保候审后，最终被法院判决有罪并判处缓刑，那么他/她就会留下案底。

建议与提醒：

• 对于盗窃案件的犯罪嫌疑人或其家属来说，了解案件的具体情况和法律后果至关重要。如果案件处于侦查阶段，应积极配合公安机关的调查工作，同时考虑是否申请取保候审等法律措施。
• 如果案件已经进入审查起诉阶段，应密切关注检察院的决定，并考虑是否需要聘请律师进行辩护或提供法律咨询。
• 无论案件最终结果如何，都应尊重法律判决，并遵守相关法律法规，以避免不必要的法律风险。

后续行动：

• 如果您或您身边的人涉及盗窃案件，并对此有进一步的疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。