在检察机关不支持抗诉的情况下，通常会出具《不支持监督申请决定书》。以下是对此问题的详细分析：

一、检察机关不支持抗诉的文书形式

当检察机关对当事人的抗诉申请进行审查后，认为不符合抗诉条件或理由不充分的，会作出不支持抗诉的决定，并出具相应的法律文书。根据《人民检察院民事诉讼监督规则》等相关规定，这种文书通常被称为《不支持监督申请决定书》。该决定书会明确说明不支持抗诉的理由和依据，是检察机关对当事人监督申请的一种正式回应。

二、出具《不支持监督申请决定书》的法律依据

检察机关出具《不支持监督申请决定书》的法律依据主要来源于《中华人民共和国民事诉讼法》和《人民检察院民事诉讼监督规则》等相关法律法规。这些法律法规规定了检察机关对民事诉讼活动进行监督的范围、方式和程序，以及作出不支持监督申请决定的具体条件和程序。

三、当事人对《不支持监督申请决定书》的救济途径

如果当事人对检察机关出具的《不支持监督申请决定书》不服，可以采取以下救济途径：

1. 申请复查：当事人可以向上一级人民检察院申请复查，请求上一级人民检察院对原决定进行审查并作出新的决定。
2. 寻求其他法律途径：如果当事人认为自己的合法权益确实受到了侵害，且检察机关的决定未能充分保障其权益，还可以考虑通过其他法律途径来维护自己的权益，如提起诉讼或申请仲裁等。

四、实务建议

1. 仔细审查决定书内容：当事人在收到《不支持监督申请决定书》后，应仔细审查决定书的内容，了解检察机关不支持抗诉的具体理由和依据。
2. 评估救济途径的可行性：根据决定书的内容和自身情况，评估申请复查或其他法律途径的可行性，并选择合适的救济方式。
3. 寻求专业法律帮助：如果当事人对法律程序或救济途径不熟悉，建议寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。