结论：父亲打120威胁送精神病院的行为是否会判刑，需根据具体情况判断，可能涉及非法拘禁罪、诽谤罪或虐待罪等，但也可能不构成犯罪。以下是对此问题的详细分析：
一、可能构成非法拘禁罪的情况
如果父亲以非法手段，如暴力、威胁等，强行将他人送往精神病院，并限制其人身自由，且时间较长或情节严重，那么这种行为可能构成非法拘禁罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十八条的规定，非法拘禁他人或者以其他方法非法剥夺他人人身自由的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。具有殴打、侮辱情节的，从重处罚。在此情况下，如果父亲的行为符合非法拘禁罪的构成要件，那么他可能会面临相应的刑事处罚。
二、可能构成诽谤罪的情况
如果父亲在威胁送精神病院的过程中，捏造事实诽谤他人，损害他人名誉，且情节严重，那么这种行为可能构成诽谤罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条的规定，以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。然而，需要注意的是，诽谤罪通常要求诽谤行为公然进行，且对被害人名誉造成严重损害。如果父亲的威胁行为并未公然进行，或者并未对被害人名誉造成严重损害，那么可能不构成诽谤罪。
三、可能构成虐待罪的情况
如果父亲与被害人之间存在家庭关系，且父亲长期以打骂、捆绑、冻饿、限制自由、强迫超体力劳动、精神折磨等方式，对被害人进行肉体上、精神上的摧残、折磨，情节恶劣，那么这种行为可能构成虐待罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百六十条的规定，虐待家庭成员，情节恶劣的，处二年以下有期徒刑、拘役或者管制。然而，虐待罪通常要求虐待行为具有长期性、持续性和恶劣性。如果父亲的威胁行为只是偶尔发生，或者并未对被害人造成严重后果，那么可能不构成虐待罪。
四、不构成犯罪的情况
如果父亲的行为并未达到上述犯罪的构成要件，或者存在其他合法理由（如被害人确实存在精神疾病，且需要紧急送医治疗），那么父亲的行为可能不构成犯罪。在此情况下，虽然父亲的行为可能引发争议或纠纷，但并不会受到刑事处罚。
法律建议：
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。