在处理公司开除十年以上老员工的赔偿问题时，我们确实需要依据《劳动合同法》的相关规定，并结合具体情况进行细致分析。以下是对此问题的详细解答：
一、合法解除劳动合同与经济补偿
合法解除的情形：
- 根据《劳动合同法》，若员工因患病或非因工负伤无法继续工作，或不能胜任工作且经过培训或调整岗位后仍不能胜任，或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且双方协商未果，公司可以提前通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同。
经济补偿标准：
- 经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资。对于十年以上的老员工，若其月工资未超过当地上年度职工月平均工资的三倍，则经济补偿通常为10个月工资；若月工资超过该标准，则经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，但最高不超过十二年，即最多支付12个月当地月平均工资的三倍作为经济补偿。
二、违法解除劳动合同与赔偿金
违法解除的情形：
- 若公司无法定理由随意辞退员工，或辞退程序不符合法律规定（如未提前通知、未支付经济补偿等），即构成违法解除。
赔偿标准：
- 违法解除时，公司需依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。对于十年以上的老员工，若其月工资未超标，则赔偿金通常为20个月工资；若月工资超标，则赔偿金最高为24个月当地月平均工资的三倍。
三、无需支付补偿或赔偿的合法解除
- 若员工存在试用期间不符合录用条件、严重违反公司规章制度、严重失职营私舞弊给公司造成重大损害等情形，公司可以合法解除劳动合同，且无需向员工支付任何经济补偿或赔偿金。
四、特殊情况下的赔偿处理
合同到期不续签：
- 若劳动合同到期且双方未续签，公司是否需要支付经济补偿取决于具体情况。若公司提出不续签或降低劳动合同条件导致员工不续签，公司需支付经济补偿；若员工提出不续签，则公司无需支付。
协商一致解除合同：
- 若双方协商一致解除劳动合同，赔偿方式需依据相关法律法规和协商结果来确定。通常，双方会就经济补偿或赔偿金达成一致意见，并写入解除劳动合同的协议中。
结论与建议
综上所述，公司开除十年以上老员工的赔偿问题需根据具体情形和法律法规来综合判断。在处理此类问题时，建议公司务必仔细审查事实情况，并严格遵循《劳动合同法》的相关规定。同时，也建议员工在面临此类情况时，及时咨询专业法律人士以维护自己的合法权益。若双方无法达成一致意见，可通过劳动争议仲裁或诉讼等法律途径来解决纠纷。