核心结论：教师开车撞人致病人住院后死亡，这属于交通肇事案件，可能涉及民事赔偿和刑事责任追究，需根据具体情况处理。以下分情况说明：
民事赔偿方面
- 责任主体：教师作为直接侵权人，是主要的民事赔偿责任主体。如果教师是在执行工作任务过程中发生事故（比如驾车去学校办事途中），根据《民法典》第一千一百九十一条规定，用人单位（学校）可能需要承担相应的赔偿责任，但学校承担责任后，可以向有故意或者重大过失的教师追偿。
- 赔偿范围：包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。死亡赔偿金按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或者农村居民人均纯收入标准，按二十年计算。但六十周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；七十五周岁以上的，按五年计算。
- 赔偿流程：一般先由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿；不足的部分，由商业三者险按照合同约定赔偿；仍有不足的，由侵权人（教师）或用人单位（学校）赔偿。双方可以协商赔偿事宜，协商不成，受害人家属可以向法院提起民事诉讼。
刑事责任方面
- 交通肇事罪的认定：根据《刑法》第一百三十三条规定，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，构成交通肇事罪。如果教师在此次事故中负事故全部或者主要责任，且造成一人死亡，就可能涉嫌交通肇事罪。
- 量刑标准：一般处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。这里的“因逃逸致人死亡”，是指行为人在交通肇事后为逃避法律追究而逃跑，致使被害人因得不到救助而死亡的情形。
- 自首情节：如果教师在事故发生后主动报警、留在现场等待处理，并如实供述自己的罪行，构成自首，根据《刑法》第六十七条规定，可以从轻或者减轻处罚。
- 赔偿与量刑的关系：如果教师在事故发生后积极赔偿受害人家属的损失，取得受害人家属的谅解，法院在量刑时可能会酌情从轻处罚。
其他注意事项
- 证据收集：在处理此类案件时，证据的收集非常重要。包括事故现场的照片、视频、证人证言、医院的诊断证明、病历、死亡证明等，这些证据将有助于确定事故责任和赔偿金额。
- 法律程序：受害人家属在处理此类案件时，可能会涉及多个法律程序，如交通事故责任认定、民事诉讼、刑事诉讼等。建议受害人家属及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以便更好地维护自己的合法权益。
建议：如果您或您身边的人遇到此类情况，建议及时收集相关证据，并尽快与我联系，我将根据具体情况为您提供详细的法律建议和帮助。