生病猫店家不肯退是否合法，这主要取决于购买时的具体约定以及相关法律法规的适用情况，不能一概而论。以下是从不同角度进行的分析：
一、基于购买合同的约定
合同中有明确约定：
- 如果在购买猫咪时，您与店家签订了书面合同，并且合同中明确约定了在猫咪生病等特定情况下，店家需要承担退货、换货或提供治疗等责任，那么店家不肯退货就违反了合同约定，您有权要求店家按照合同履行义务。
合同中无明确约定：
- 如果合同中没有明确约定猫咪生病时的处理方式，那么就需要根据相关法律法规和行业惯例来判断。在这种情况下，店家不肯退货可能并不直接构成违法，但您仍然可以尝试与店家协商，寻求合理的解决方案。
二、基于消费者权益保护法的规定
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买商品时享有知情权、选择权、公平交易权等权益。如果店家在销售猫咪时未如实告知猫咪的健康状况，或者存在欺诈行为，导致您购买了生病的猫咪，那么您有权要求店家承担退货、换货、赔偿等责任。
- 然而，如果店家在销售时已经明确告知了猫咪的健康状况，并且您是在知情的情况下自愿购买的，那么店家不肯退货可能并不违反消费者权益保护法的规定。
三、基于动物防疫法的规定
- 根据《中华人民共和国动物防疫法》的相关规定，出售动物的单位和个人应当按照国家规定做好动物疫病的预防和控制工作，确保出售的动物健康无疫。如果店家出售的猫咪确实存在疾病，并且该疾病属于应当报告或防控的疫病范围，那么店家可能面临行政处罚。但这并不直接决定您能否要求退货，而是更多地涉及到店家的法律责任问题。
四、建议与行动
与店家协商：
- 首先，您可以尝试与店家进行友好协商，说明猫咪生病的情况，并要求店家按照合同约定或相关法律法规承担相应责任。
寻求消费者协会帮助：
- 如果协商无果，您可以向当地的消费者协会投诉，寻求他们的帮助和支持。消费者协会可以提供调解服务，帮助您与店家达成和解。
考虑法律途径：
- 如果以上方法均无法解决问题，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。例如，您可以向法院提起诉讼，要求店家承担退货、换货、赔偿等责任。
最后需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此在处理此类问题时，建议您根据自己的实际情况和当地法律法规的规定来制定合适的策略。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。