结论概述：针对新闻背景中直播售卖虚假“神药”的行为，市场监管部门可依据《中华人民共和国广告法》《中华人民共和国消费者权益保护法》《中华人民共和国反不正当竞争法》等法律法规进行执法查处，具体包括立案调查、证据收集、行政处罚等流程，并可能涉及刑事责任追究。以下结合新闻背景详细分析：
一、市场监管部门执法查处的法律依据
《中华人民共和国广告法》
- 虚假宣传：新闻中直播间宣称“心肌肽营养液”能改善心悸、冠心病等各类心脏病症，且虚构“御医传人”“中国中医药(古方)研究院”等背景，属于虚假宣传行为，违反了《广告法》第四条“广告不得含有虚假或者引人误解的内容，不得欺骗、误导消费者”的规定。
- 处罚措施：市场监管部门可依据《广告法》第五十五条，责令停止发布广告，责令广告主在相应范围内消除影响，处广告费用三倍以上五倍以下的罚款，广告费用无法计算或者明显偏低的，处二十万元以上一百万元以下的罚款；情节严重的，吊销营业执照，并由广告审查机关撤销广告审查批准文件、一年内不受理其广告审查申请。
《中华人民共和国消费者权益保护法》
- 欺诈行为：直播间通过虚构事实、隐瞒真相的方式，诱使消费者购买普通食品作为“神药”，构成欺诈行为，违反了《消费者权益保护法》第二十条“经营者向消费者提供有关商品或者服务的质量、性能、用途、有效期限等信息，应当真实、全面，不得作虚假或者引人误解的宣传”的规定。
- 处罚措施：市场监管部门可依据《消费者权益保护法》第五十六条，责令改正，可以根据情节单处或者并处警告、没收违法所得、处以违法所得一倍以上十倍以下的罚款，没有违法所得的，处以五十万元以下的罚款；情节严重的，责令停业整顿、吊销营业执照。
《中华人民共和国反不正当竞争法》
- 虚假商业宣传：直播间通过虚构“御医传人”等背景，进行虚假商业宣传，欺骗、误导消费者，违反了《反不正当竞争法》第八条“经营者不得对其商品的性能、功能、质量、销售状况、用户评价、曾获荣誉等作虚假或者引人误解的商业宣传，欺骗、误导消费者”的规定。
- 处罚措施：市场监管部门可依据《反不正当竞争法》第二十条，责令停止违法行为，处二十万元以上一百万元以下的罚款；情节严重的，处一百万元以上二百万元以下的罚款，可以吊销营业执照。
二、市场监管部门执法查处的流程
- 立案调查：市场监管部门在接到消费者投诉或举报后，会进行初步调查，确认是否存在违法行为。如新闻中天津市场监管部门执法人员根据消费者提供的线索，进入到某私域直播间进行调查。
- 证据收集：市场监管部门会收集相关证据，包括直播视频、产品宣传资料、销售记录等，以证明违法行为的存在。如新闻中执法人员查证了直播间宣称的“御医传人”、产品上标注的“中国中医药(古方)研究院”均为虚构。
- 行政处罚：在确认违法行为后，市场监管部门会依法作出行政处罚决定，包括责令停止违法行为、罚款、没收违法所得等。如新闻中该商贸公司通过私域直播的方式，累计销售额100多万元，市场监管部门可依据相关法律法规对其作出相应的行政处罚。
- 后续监督：市场监管部门还会对违法经营者进行后续监督，确保其改正违法行为，并防止类似行为再次发生。
三、可能涉及的刑事责任
如果直播售卖虚假“神药”的行为情节严重，构成犯罪的，还将依法追究刑事责任。如可能涉及生产、销售伪劣产品罪、诈骗罪等。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，生产、销售伪劣产品罪是指生产者、销售者在产品中掺杂、掺假，以假充真，以次充好或者以不合格产品冒充合格产品，销售金额达一定数额的行为；诈骗罪是指以非法占有为目的，用虚构事实或者隐瞒真相的方法，骗取数额较大的公私财物的行为。
四、对公众的启示
- 提高警惕：消费者在购买商品时，应提高警惕，不要轻信直播中的虚假宣传，尤其是涉及健康、医疗等领域的商品。
- 理性消费：消费者应理性消费，不要盲目跟风购买所谓“神药”“秘方”等商品，避免上当受骗。
- 依法维权：如果消费者发现商家存在虚假宣传、欺诈等行为，应及时向市场监管部门投诉或举报，依法维护自己的合法权益。
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