面对对方打人后逃跑的情况，你应当保持冷静，并按照以下步骤来妥善处理，以确保自身权益得到最大程度的维护：
一、立即报警并寻求医疗救助
迅速报警：在确保自身安全的前提下，第一时间拨打当地的报警电话（如110）。向警方详细、准确地描述案发的时间、地点，打人者的体貌特征（如身高、体型、穿着、面部特征等），以及逃跑的方向和可能使用的交通工具等信息。这些信息对警方迅速展开调查和追捕至关重要。
寻求医疗救助：如果自己或他人在事件中受伤，应立即拨打急救电话（如120），前往正规医院接受全面的检查和治疗。务必保留好所有与医疗相关的资料，如病历、检查报告、诊断证明和缴费凭证等，这些将作为后续要求赔偿和追究法律责任的重要依据。
二、现场处理与证据收集
保护现场：尽量保持打架现场的原状，不要随意破坏或变动现场的物品和痕迹。这些可能成为后续调查的重要证据。
寻找证人：积极寻找目击证人，并记录下他们的联系方式。证人的证言对于还原事件真相和后续的调查处理至关重要。
记录详情：在等待警方到场的过程中，尝试回忆并记录事件的详细信息，包括冲突的起因、打斗的过程、双方的行为举止等。这些信息将有助于你向警方提供更全面的陈述。
三、配合警方调查并提供证据
如实陈述：警方到达现场后，应如实、详细地讲述打架事件的全过程，不要隐瞒或歪曲事实。你的陈述将作为警方调查的重要参考。
提供证据：向警方提供你拍摄到的照片、视频或其他相关证据，如现场遗留的物品、医疗记录等。这些证据将有助于警方更准确地了解事件情况，并作为后续司法程序的重要依据。
协助查找对方：根据你所知，向警方提供对方可能的去向或藏匿地点，帮助警方尽快找到对方。你的协助将大大提高警方追捕嫌疑人的效率。
四、依法追究法律责任与要求民事赔偿
治安处罚或刑事处罚：根据伤情鉴定结果和案件性质，打人者可能面临治安处罚或刑事处罚。轻微伤将依据《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处理；轻伤及以上则涉嫌故意伤害罪，将依据《中华人民共和国刑法》进行惩处。
协商赔偿或提起民事诉讼：在确定打人者身份并找到对方后，你可以与对方及其家属就赔偿事宜进行协商。赔偿项目通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费等。若双方无法达成一致，你可以在刑事诉讼过程中提起附带民事诉讼，或在刑事案件结束后单独向人民法院提起民事诉讼，要求打人者承担相应的民事赔偿责任。
五、加强自我保护意识与寻求法律援助
加强自我保护：为预防类似事件的再次发生，你应加强自我保护意识，避免独自前往危险区域或在夜间单独行动。同时，学习一些基本的自卫技能也是提高自我保护能力的有效途径。
寻求法律援助：在整个处理过程中，你可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师的意见。律师将为你提供专业的法律建议和指导，帮助你更好地维护自己的合法权益并追求应有的赔偿。
综上所述，面对对方打人后逃跑的情况，你应保持冷静并立即报警，同时寻求医疗救助和收集证据。积极配合警方调查并提供协助，依法追究打人者的法律责任并要求民事赔偿。在整个过程中，加强自我保护意识并寻求法律援助将是一个明智的选择。