若当事人认为申请执行的仲裁裁决书存在错误，可根据仲裁类型（劳动仲裁与民商事仲裁）依法采取相应的救济措施。以下是从不同角度给出的详细解答：
一、劳动仲裁裁决错误的救济途径
申请撤销终局裁决（仅限用人单位）
- 适用情形：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十九条，若用人单位有证据证明终局裁决存在适用法律错误、无管辖权、违反法定程序、证据伪造、隐瞒关键证据或仲裁员不当行为等情形，可在收到裁决书后三十日内向中级人民法院申请撤销。
- 法律后果：法院经审查核实后，若确认存在上述情形，将裁定撤销裁决。裁决被撤销后，当事人可在十五日内就同一劳动争议事项向法院提起诉讼。
- 示例：若用人单位认为仲裁裁决中适用的法律条款与案件事实不符，且能提供充分证据证明，则可向法院申请撤销该裁决。
提起诉讼（针对劳动者和用人单位）
- 适用情形：对于非终局裁决，当事人不服的，可在收到裁决书后十五日内向法院提起诉讼；期满未起诉的，裁决生效。对于终局裁决，劳动者不服的，同样可在十五日内向法院提起诉讼。
- 法律后果：法院将依法对案件进行审理，并作出判决。若判决与原仲裁裁决不同，则以法院判决为准。
- 示例：若劳动者认为仲裁裁决的赔偿金额过低，且能在法定期限内向法院提起诉讼，法院将重新审理案件并作出判决。
二、民商事仲裁裁决错误的救济途径
申请撤销仲裁裁决
- 适用情形：依据《中华人民共和国仲裁法》第五十八条，当事人若证明裁决存在无仲裁协议、超范围裁决、程序违法、证据伪造、隐瞒关键证据或仲裁员不当行为等情形，可在收到裁决书后六个月内向中级人民法院申请撤销。
- 法律后果：法院经审查核实后，若确认存在上述情形或裁决违背社会公共利益，将裁定撤销。裁决被撤销后，当事人可重新达成仲裁协议申请仲裁，或向法院起诉。
- 示例：若当事人认为仲裁裁决中仲裁庭的组成违反了法定程序，且能提供充分证据证明，则可向法院申请撤销该裁决。
不予执行仲裁裁决
- 适用情形：根据《仲裁法》第六十三条及《民事诉讼法》相关规定，被申请人若证明裁决存在特定情形（如程序违法、证据伪造等），可向执行法院申请不予执行。
- 法律后果：法院经审查核实后，将裁定不予执行。裁决不被执行后，当事人可根据仲裁协议重新申请仲裁，或向法院起诉。
- 示例：若被申请人认为仲裁裁决中裁决的事项超出了仲裁协议的范围，且能提供充分证据证明，则可向执行法院申请不予执行该裁决。
三、通用注意事项
- 仔细审查裁决书：在采取任何救济措施前，应仔细审查仲裁裁决书，确认存在的错误及其理由，并准备充分的证据支持。
- 咨询专业律师：虽然我作为专业律师已经给出了详细的解答，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在采取行动前，建议进一步向我咨询，以获取更个性化的建议。
- 遵守法定程序：无论选择哪种救济途径，都必须严格遵守相关的法定程序和时效要求，以确保申请的有效性。
总结来说，若当事人认为申请执行的仲裁裁决书存在错误，应根据仲裁类型和具体情况选择合适的救济途径。在采取行动前，务必仔细审查裁决书、准备充分证据，并咨询专业律师以获取个性化建议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。