在刑事案件中，若控告方出具关键假证据导致公安立案，相关责任可能涉及多个方面，具体分析如下：

1. 控告方的责任：

   • 刑事责任：根据《中华人民共和国刑法》第三百零七条之一的规定，以捏造的事实提起民事诉讼，妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益的，构成虚假诉讼罪。虽然此条款直接针对的是民事诉讼，但刑事案件中提供虚假证据的行为，若情节严重，同样可能构成妨害作证罪或帮助毁灭、伪造证据罪等相关罪名。特别是当控告方故意捏造事实、伪造证据，意图使他人受到刑事追究时，其行为可能触犯刑法，面临刑事处罚。
   • 民事责任：若控告方的行为给被控告方造成了经济损失或名誉损害，被控告方有权要求控告方承担民事赔偿责任，包括赔偿经济损失、恢复名誉等。

2. 公安机关的责任：

   • 立案审查责任：公安机关在接到控告后，有义务对控告内容进行审查，核实证据的真实性和合法性。若公安机关在审查过程中未尽到合理注意义务，导致基于虚假证据而立案，可能构成立案错误。然而，这种错误通常属于工作失误或疏忽，并不直接构成刑事责任，但可能受到内部纪律处分或行政监督。
   • 纠正错误责任：一旦发现立案错误，公安机关有义务及时撤销案件，释放被错误拘留或逮捕的嫌疑人，并采取措施恢复其名誉和权益。若公安机关未及时纠正错误，可能承担相应的行政责任或民事赔偿责任。

3. 其他相关人员的责任：

   • 律师或法律工作者的责任：若律师或法律工作者在代理案件过程中，明知控告方提供的证据是虚假的，仍协助其提交给公安机关，可能构成共同犯罪或单独构成帮助伪造证据罪等罪名。
   • 鉴定人、翻译人的责任：若鉴定人、翻译人在案件处理过程中故意提供虚假鉴定意见或翻译内容，影响案件公正处理，同样可能承担相应的法律责任。

针对此类情况，建议采取以下措施：

• 及时收集证据：被控告方应尽快收集能够证明控告方提供虚假证据的相关证据，如证人证言、物证、书证等。
• 向公安机关提出异议：被控告方有权向公安机关提出异议，要求公安机关对控告方提供的证据进行重新审查或鉴定。
• 申请撤销案件：若公安机关基于虚假证据而立案，被控告方有权申请公安机关撤销案件，并释放被错误拘留或逮捕的嫌疑人。
• 寻求法律救济：若被控告方的权益受到侵害，有权通过法律途径寻求救济，包括提起民事诉讼要求赔偿损失、申请国家赔偿等。

最后，需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此在处理此类问题时，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更为准确和全面的法律建议。