结论：在此情况下，房东是否承担责任需根据具体情况判断，主要取决于房东是否尽到了安全保障义务以及该义务的违反与孩子坠楼之间的因果关系。以下从不同角度进行分析：
一、房东的安全保障义务
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，房东作为房屋的所有者或管理者，对房屋及其附属设施负有安全保障义务。这包括确保房屋结构安全、设施完好，以及采取必要措施防止他人遭受损害。具体到本案，房东应确保出租房的窗户等设施处于安全状态，不存在老化、损坏等可能导致危险的情况。
二、房东是否违反安全保障义务
窗户老化问题：法医鉴定窗户老化，这表明窗户可能存在安全隐患。如果房东在出租前未对窗户进行必要的检查和维护，或者明知窗户老化却未采取措施进行修复或更换，那么房东可能违反了安全保障义务。
卧室没有钥匙问题：卧室没有钥匙本身并不直接构成安全隐患，但如果这一情况与窗户老化问题相结合，导致在紧急情况下无法及时进入卧室进行救援或采取其他措施防止损害发生，那么房东也可能因此承担一定的责任。不过，这一点的责任相对较轻，因为卧室没有钥匙并不直接导致孩子坠楼。
三、因果关系与责任划分
直接因果关系：如果孩子坠楼直接是由于窗户老化、损坏导致的，且房东未尽到安全保障义务，那么房东应承担相应的赔偿责任。
间接因果关系或无因果关系：如果孩子坠楼主要是由于母亲疏忽导致的，如未看护好孩子、未采取必要的安全措施等，而窗户老化只是间接因素或无关因素，那么房东的责任可能会相应减轻或免除。
四、具体责任划分建议
收集证据：首先，应收集相关证据，包括法医鉴定报告、现场照片、证人证言等，以证明窗户老化的事实以及房东未尽到安全保障义务的情况。
协商调解：在证据充分的情况下，可以尝试与房东进行协商调解，寻求合理的赔偿方案。
法律途径：如果协商调解无果，可以考虑通过法律途径解决纠纷。在此过程中，应咨询专业律师，了解具体的法律程序和赔偿标准。
五、特殊情况考虑
如果房东在出租时已经明确告知租户窗户存在老化问题，并提醒租户注意安全，且租户表示接受并愿意自行承担风险，那么房东的责任可能会相应减轻。但这种情况需要具体的证据支持，且房东的告知和提醒必须充分、明确。
总结与建议：在此类案件中，房东是否承担责任需根据具体情况判断。如果房东未尽到安全保障义务，且该义务的违反与孩子坠楼之间存在因果关系，那么房东应承担相应的赔偿责任。建议在此类情况下，及时收集证据并咨询专业律师，以便更好地维护自身权益。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。