父母在特定条件下确实可能构成拐卖儿童罪。以下是对此问题的详细分析：
一、拐卖儿童罪的定义与构成要件
拐卖儿童罪，是指以出卖为目的，实施拐骗、绑架、收买、贩卖、接送、中转儿童等行为。此罪行不仅适用于陌生人之间的拐卖行为，同样也包括亲生父母以非法获利为目的，将子女当作商品出卖给他人的情形。判断是否构成拐卖儿童罪的关键在于是否具有非法获利的目的。
二、父母构成拐卖儿童罪的具体情形
明确出卖目的：
- 如果父母因贪图钱财或其他非法利益，主动联系买家并将子女卖掉，这种行为即构成拐卖儿童罪。例如，父母清楚地知道收养者打算违法或出高价买孩子时，仍将其出卖，就触犯了法律。
非法获利：
- 父母通过出卖子女获取经济利益，无论金额大小，均视为非法获利，是构成拐卖儿童罪的重要因素。如果父母收取明显超出“营养费”“感谢费”等合理范畴的高额钱财，将孩子送养给他人，就可能被认定为具有出卖目的，从而构成此罪。
情节严重情形：
- 若父母的行为属于《中华人民共和国刑法》第二百四十条规定的八种加重处罚情形之一，如拐卖儿童集团的首要分子、拐卖多名儿童、使用暴力胁迫等，将面临更严厉的刑事处罚。具体包括：
- 拐卖妇女、儿童集团的首要分子；
- 拐卖妇女、儿童三人以上的；
- 奸淫被拐卖的妇女的；
- 诱骗、强迫被拐卖的妇女卖淫或者将被拐卖的妇女卖给他人迫使其卖淫的；
- 以出卖为目的，使用暴力、胁迫或者麻醉方法绑架妇女、儿童的；
- 以出卖为目的，偷盗婴幼儿的；
- 造成被拐卖的妇女、儿童或者其亲属重伤、死亡或者其他严重后果的；
- 将妇女、儿童卖往境外的。
三、不构成拐卖儿童罪的情形
送养而非出卖：
- 父母因生活困难等原因无力抚养子女，将子女送交他人收养，且未收取钱财或谋取其他非法利益的，通常不构成拐卖儿童罪。但这种情况下可能涉及违反收养程序等其他法律问题，如未通过合法途径办理相关收养手续，可能面临其他法律责任。
被欺骗、胁迫：
- 如果父母是在被欺骗、胁迫等情况下，导致儿童被拐卖，并且父母在得知后积极采取措施解救儿童的，其罪责相对较轻，可能不构成犯罪或被从轻处罚。
四、法律建议与后果
法律建议：
- 判定父母在拐卖儿童行为中的罪责，需综合考虑父母的主观故意、行为表现以及是否积极采取补救措施等因素。具体情况应根据案件的事实、证据等进行综合判断。
- 如果父母有相关行为疑虑，应及时向我咨询，以确定其行为是否构成犯罪，并了解可能的法律后果。
法律后果：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百四十条的规定，拐卖儿童的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。对于具有加重情节的，将处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产；情节特别严重的，甚至可能面临死刑，并处没收财产的严厉惩罚。
综上所述，父母是否构成拐卖儿童罪，关键在于其行为是否以出卖为目的，并实施了符合该罪构成要件的行为。在实际操作中，应严格区分送养与出卖的不同性质，确保法律的公正适用。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。