刑事案件立案后，公安机关当然有权且应当对相关罪名进行调查。这是公安机关在刑事诉讼中的基本职责，也是确保案件公正、准确处理的重要环节。以下从几个方面进行详细说明：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在接到报案、控告、举报或自首材料后，经审查认为有犯罪事实需要追究刑事责任的，应当立案侦查。立案后，公安机关即有权对案件进行全面调查，包括调查与案件相关的罪名、犯罪事实、犯罪嫌疑人等。

2. 调查内容：

   • 公安机关在调查过程中，会围绕立案的罪名展开一系列侦查活动，如收集证据、询问证人、勘验现场、检查、搜查、扣押物证、书证等。这些活动旨在查明犯罪事实，确定犯罪嫌疑人，并收集足够的证据以支持或反驳相关罪名。

3. 调查目的：

   • 公安机关调查相关罪名的目的在于确保案件的准确处理。通过调查，公安机关可以确定犯罪嫌疑人的行为是否构成犯罪，构成何种犯罪，以及犯罪的情节轻重等。这些信息对于后续的起诉、审判等环节至关重要。

4. 调查过程中的权利与义务：

   • 公安机关在调查过程中享有广泛的侦查权，但同时也必须遵守法律规定的程序和要求。例如，公安机关在调查时必须出示相应的证件和法律文书，尊重犯罪嫌疑人的合法权益，不得侵犯其人身自由、人格尊严等。同时，公安机关也有义务保护案件涉及的隐私和秘密，确保调查活动的合法性和公正性。

5. 对调查结果的运用：

   • 公安机关在调查结束后，会根据调查结果决定是否对犯罪嫌疑人采取强制措施（如拘留、逮捕等），并将案件移送检察机关审查起诉。如果调查结果显示犯罪嫌疑人的行为不构成犯罪或证据不足，公安机关可能会撤销案件或作出其他处理决定。

总结来说，刑事案件立案后，公安机关有权且应当对相关罪名进行调查。这是公安机关在刑事诉讼中的基本职责，也是确保案件公正、准确处理的重要保障。如果您在刑事案件方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。