结论：交通责任书下来后双方同意和解，建议私下写下协议书，以确保双方权益得到明确保障并减少后续纠纷的可能性。以下从多个角度进行分析：
一、法律层面
和解协议的法律效力：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人之间可以就民事纠纷达成和解协议。和解协议一旦签订，即具有法律约束力，双方应当按照协议内容履行各自义务。
- 私下签订的和解协议，只要内容合法、双方自愿，且不违反公序良俗，即具有法律效力。这意味着，如果一方不履行协议，另一方可以依据协议向法院提起诉讼，要求对方承担违约责任。
交通责任书与和解协议的关系：
- 交通责任书是交警部门根据事故现场勘查、调查取证等程序，对事故责任作出的认定。它主要作为事故处理的依据，并不直接涉及双方的和解内容。
- 和解协议则是双方就事故赔偿、责任承担等事项达成的具体约定。它是对交通责任书的一种补充或细化，旨在明确双方的具体权利和义务。
二、实际操作层面
明确双方权益：
- 私下签订和解协议可以确保双方对赔偿金额、支付方式、支付时间等关键事项有明确的约定，避免后续因理解不一致而产生的纠纷。
- 和解协议还可以就事故造成的其他损失（如车辆维修费、误工费、医疗费等）进行详细列举和约定，确保双方权益得到全面保障。
减少诉讼风险：
- 如果双方没有签订和解协议，仅凭交通责任书进行赔偿协商，可能会因缺乏具体约定而导致协商不成或执行困难。
- 一旦进入诉讼程序，法院将根据交通责任书、相关证据以及法律规定来判决赔偿金额和责任承担。而私下签订的和解协议，如果内容合法且双方自愿，可以作为法院判决的参考依据之一。
促进和谐解决：
- 私下签订和解协议有助于双方以和平、友好的方式解决纠纷，减少因诉讼而产生的对立情绪和时间、金钱成本。
- 和解协议还可以约定保密条款，保护双方的隐私和商业秘密，避免不必要的公开和泄露。
三、建议与注意事项
建议签订书面协议：
- 为了确保和解协议的法律效力和可执行性，建议双方签订书面协议，并尽量使用规范的法律术语和格式。
- 协议内容应详细、明确，包括双方的基本信息、事故经过、责任认定、赔偿金额、支付方式、支付时间、违约责任等关键条款。
注意协议内容的合法性：
- 和解协议的内容必须合法，不得违反法律法规的强制性规定或公序良俗。
- 例如，协议中不得约定免除一方因故意或重大过失造成的损害赔偿责任，也不得约定违反法律、行政法规的强制性规定的内容。
考虑协议的履行和监督：
- 双方可以约定协议的履行方式和监督机制，如定期汇报履行情况、设立第三方监督等，以确保协议得到有效执行。
- 如果一方不履行协议，另一方可以及时采取法律措施维护自己的权益。
综上所述，交通责任书下来后双方同意和解，私下写下协议书是非常有必要的。它不仅可以明确双方权益、减少诉讼风险，还可以促进和谐解决纠纷。如果你有任何关于交通运输事故责任或和解协议方面的法律问题，可以直接向我咨询。