结论：放弃听证后，行政机关在履行了相应的告知义务，并确保当事人的其他合法权利得到充分保障的前提下，是可以依法立即作出行政处罚决定的，但这一过程必须严格依法进行。
分析说明：
听证权利的性质：
- 听证是当事人在面临可能对其不利的行政处罚决定时，依法享有的一项重要权利。它允许当事人进行陈述、申辩以及质证，从而保障其合法权益。
放弃听证权利的后果：
- 当当事人以书面等方式明确表示放弃听证权利时，意味着其主动放弃了通过听证程序来维护自身权益的机会。但这并不意味着行政机关可以随意作出处罚决定。
行政机关作出处罚决定的前提：
- 全面、客观、公正的调查：行政机关必须进行全面、客观、公正的调查，收集有关证据，以确保处罚决定的事实基础清晰、确凿。
- 保障当事人的其他合法权利：尽管当事人放弃了听证权利，但他们仍然享有知情权、陈述权和申辩权等其他合法权利。行政机关在作出处罚决定前，应充分听取当事人的意见，确保其他合法权利不受侵犯。
- 严格遵守法律程序和规定：行政机关在作出处罚决定时，必须严格遵守相关的法律程序和规定，包括确保处罚决定有明确的法律依据，符合法定的处罚种类和幅度，以及遵循公正、公开的原则等。
实际操作中的注意事项：
- 行政机关应谨慎对待当事人的听证权利放弃声明，确保整个处罚过程的公正性和合法性。
- 在作出处罚决定前，行政机关应再次确认当事人是否真正自愿放弃听证权利，并记录在案。
- 如果当事人放弃听证后，又提出新的证据或理由要求听证，行政机关应根据具体情况决定是否重新启动听证程序。
法律背景与建议：
法律背景：根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，行政机关在作出责令停产停业、吊销许可证或者执照、较大数额罚款等严重行政处罚决定前，应当告知当事人有要求举行听证的权利。当事人要求听证的，行政机关应当组织听证。当事人不承担行政机关组织听证的费用。听证依照以下程序组织：……（此处省略具体听证程序，因非本题重点）。当事人明确放弃听证权利的，行政机关在履行了相应义务后，可以依法作出处罚决定。
建议：对于当事人而言，在面临行政处罚时，应认真考虑是否行使听证权利。如果认为听证有助于维护自身权益，应及时提出听证要求。如果决定放弃听证权利，也应确保这一决定是出于自愿，并了解放弃听证可能带来的后果。对于行政机关而言，在作出处罚决定前，应严格遵守法律程序和规定，确保处罚决定的合法性与合理性。
可能后果：
- 如果行政机关在当事人放弃听证后，未履行相应的告知义务或未保障当事人的其他合法权利，而直接作出处罚决定，那么该处罚决定可能因程序违法而被撤销或变更。
- 如果当事人放弃听证后，又提出新的证据或理由要求听证，而行政机关未予理会或处理不当，也可能引发行政复议或行政诉讼等法律纠纷。
因此，放弃听证后是否可立即处罚，关键在于行政机关是否履行了相应的告知义务，并确保了当事人的其他合法权利得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。