嫖娼被拘留10天期间，不可以申请外出。具体分析如下：

1. 拘留的性质与规定：

   • 嫖娼被拘留属于行政拘留，是公安机关依法对违反治安管理行为人短期内剥夺其人身自由的一种行政处罚。
   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》及相关规定，被拘留人在拘留期间应当遵守拘留所的管理规定，不得擅自离开拘留所。

2. 拘留期间的管理要求：

   • 拘留所会对被拘留人进行严格的管理，包括日常起居、活动安排等，以确保拘留所的秩序和安全。
   • 被拘留人在拘留期间需要接受教育、学习法律知识等，以改正其违法行为。

3. 申请外出的不可能性：

   • 在拘留期间，被拘留人没有权利申请外出。拘留所不会批准被拘留人因个人原因（如探亲、访友、工作等）而提出的外出申请。
   • 如果被拘留人因特殊情况（如疾病需要就医等）需要外出，必须经过拘留所的严格审批，并在公安机关的监护下进行。但这种情况并不属于“申请外出”的范畴，而是基于特殊需要的临时安排。

4. 违反规定的后果：

   • 如果被拘留人擅自离开拘留所或违反拘留所的管理规定，公安机关将依法对其进行处理，可能包括延长拘留期限、加处罚款等。
   • 严重的违法行为还可能构成犯罪，依法追究刑事责任。