针对老旧小区使用未经检验的安装电梯的相关违法行为，其行政处罚主要依据《中华人民共和国特种设备安全法》的相关规定进行。以下是对此类违法行为的详细行政处罚说明：
一、违法行为认定
老旧小区使用未经检验的电梯，主要违反了《中华人民共和国特种设备安全法》第四十条第三款的规定：“未经定期检验或者检验不合格的特种设备，不得继续使用。”这意味着，任何特种设备，包括电梯，在使用前或使用过程中，都必须按照规定的周期进行定期检验，确保设备的安全性能。若未经检验或检验不合格而继续使用，即构成违法行为。
二、行政处罚依据
对于此类违法行为，行政处罚的依据主要是《中华人民共和国特种设备安全法》第八十四条第一项：“违反本法规定，特种设备使用单位有下列行为之一的，责令停止使用有关特种设备，处三万元以上三十万元以下罚款：（一）使用未取得许可生产，未经检验或者检验不合格的特种设备，或者国家明令淘汰、已经报废的特种设备的；”
三、行政处罚案例及裁量
案例一：如桂北城市监处罚〔2025〕365号案例中，北海新大陆物业服务有限公司因使用未经定期检验的电梯，被北海市海城区市场监督管理局责令立即停止使用，并处以罚款叁万壹仟元整。在此案例中，考虑到当事人主动配合调查、如实陈述违法事实并主动提供证据材料，市场监管部门依法从轻处罚。
案例二：在浏市监处罚〔2025〕89号案例中，浏阳市永安镇尝在一起时尚餐厅因使用未经检验、未办理使用登记证的杂物电梯，被浏阳市市场监督管理局依法立案调查。最终，该餐厅被责令限期改正违法行为，并因积极配合调查、如实陈述违法事实并提供证据材料而获得从轻处罚。
四、行政处罚裁量权
在行政处罚过程中，市场监管部门会根据违法行为的性质、情节、社会危害程度以及当事人的配合态度等因素，依法行使裁量权。如《广西壮族自治区市场监督管理行政处罚裁量权适用规定》和《湖南省市场监督管理行政处罚裁量权实施办法》等地方性法规，均提供了从轻或减轻行政处罚的具体情形，如积极配合调查、如实陈述违法事实、主动提供证据材料等。
五、建议与提醒
对于老旧小区的管理单位或物业，应严格遵守《中华人民共和国特种设备安全法》的相关规定，定期对电梯等特种设备进行检验和维护，确保设备的安全性能。同时，应加强对居民的安全教育，提高居民的安全意识，共同维护小区的安全环境。若发现违法行为，市场监管部门将依法进行处罚，以维护公共安全和市场秩序。
综上所述，老旧小区使用未经检验的安装电梯是严重的违法行为，将受到法律的严厉制裁。因此，各相关单位和个人应严格遵守法律法规，确保特种设备的安全使用。