结论前置：与公司签订的私车公用协议到期后，其效力取决于协议的具体内容、双方是否续签或达成新的协议，以及是否存在其他影响协议效力的因素。以下从多个角度进行分析：

1. 协议到期后的自然终止：

   • 一般原则：根据合同法的相关规定（此处虽原合同法已废止，但相关原则在现行《中华人民共和国民法典》合同编中得以延续），合同到期后，若双方未续签或达成新的协议，则合同自然终止。这意味着，私车公用协议到期后，如果没有续签，其原有的权利和义务关系将不再继续。
   • 例外情况：然而，如果协议中有特别约定，比如“协议到期后自动续期”或“协议到期后双方继续履行原协议内容直至新协议签订”等，那么协议可能不会因到期而立即终止。

2. 协议到期后的续签与新协议：

   • 续签协议：如果双方在原协议到期前或到期后，就续签事宜达成一致，并签订了新的私车公用协议，那么新的协议将取代原协议，继续约束双方的行为。
   • 新协议：即使双方没有直接续签原协议，但如果就私车公用事宜达成了新的协议，那么新的协议将具有法律效力，双方应按照新协议的约定履行义务。

3. 协议到期后的实际履行与法律后果：

   • 实际履行：如果协议到期后，双方仍继续按照原协议的内容实际履行，且没有提出异议，那么这种实际履行行为可能被视为双方对原协议的一种默示续签或变更。但这种情况存在法律风险，因为缺乏明确的书面协议作为依据。
   • 法律后果：如果协议到期后，一方继续使用车辆而另一方未提出异议，但后续因费用、责任等问题产生纠纷，那么法院或仲裁机构在裁决时，可能会综合考虑双方的实际履行情况、行业惯例、公平原则等因素，来判定双方的权利和义务。

4. 建议与注意事项：

   • 明确约定：为了避免协议到期后产生纠纷，建议在签订私车公用协议时，就协议到期后的处理方式进行明确约定，比如是否续签、续签的条件、不续签时的车辆归还、费用结算等。
   • 及时沟通：协议到期前，双方应及时沟通，就续签或新协议的事宜进行协商，以确保双方的权利和义务得到明确和保障。
   • 书面确认：无论是否续签或签订新协议，都建议双方以书面形式进行确认，以便在后续产生纠纷时，有明确的证据作为依据。

总结来说，与公司签订的私车公用协议到期后，其效力并非绝对终止，而是取决于协议的具体内容、双方的行为以及是否存在其他影响协议效力的因素。因此，在处理此类问题时，建议双方及时沟通、明确约定，并以书面形式进行确认，以避免不必要的纠纷和损失。如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。