结论：房屋买卖合同撤销后，是否影响与第三方合同的付款责任，以及是否需要担责，这主要取决于合同撤销的原因、第三方合同的具体内容以及各方之间的法律关系。以下从不同角度进行分析：
一、合同撤销的原因及影响
因一方欺诈、胁迫或乘人之危而撤销：
- 若房屋买卖合同因一方欺诈、胁迫或乘人之危而被撤销，根据《民法典》的相关规定，受损害方有权请求法院或仲裁机构撤销合同。合同被撤销后，自始没有法律约束力，因该合同取得的财产应当予以返还；不能返还或者没有必要返还的，应当折价补偿。有过错的一方应当赔偿对方因此所受到的损失。
- 对第三方合同的影响：若第三方合同是基于被撤销的房屋买卖合同而签订，且第三方合同的内容与房屋买卖合同紧密相关（如购房贷款合同），则房屋买卖合同的撤销可能导致第三方合同的履行基础丧失。此时，需根据第三方合同的具体条款和法律规定，判断是否构成违约，以及是否需要承担违约责任。
因重大误解或显失公平而撤销：
- 若房屋买卖合同因重大误解或显失公平而被撤销，同样根据《民法典》的相关规定，受损害方有权请求撤销合同。合同被撤销后，处理方式与因欺诈、胁迫或乘人之危而撤销的情况类似。
- 对第三方合同的影响：与上述情况类似，若第三方合同与被撤销的房屋买卖合同紧密相关，则可能受到波及。但具体影响需根据第三方合同的内容和法律规定来判断。
二、第三方合同的具体内容及法律关系
第三方合同为独立合同：
- 若第三方合同与房屋买卖合同完全独立，即第三方合同的履行不依赖于房屋买卖合同的效力，则房屋买卖合同的撤销通常不会影响第三方合同的付款责任。此时，各方应继续按照第三方合同的约定履行义务，否则可能构成违约。
第三方合同为从合同或关联合同：
- 若第三方合同为房屋买卖合同的从合同或关联合同（如担保合同、购房贷款合同等），则房屋买卖合同的撤销可能导致第三方合同的效力受到影响。此时，需根据第三方合同的具体条款和法律规定，判断是否需要承担违约责任或赔偿责任。
三、法律建议
审查合同条款：
- 在房屋买卖合同撤销后，应仔细审查与第三方签订的合同条款，特别是关于合同效力、违约责任和赔偿等方面的约定。
及时沟通协商：
- 与第三方进行及时沟通，说明房屋买卖合同撤销的情况，并协商解决方案。若可能，可尝试通过修改第三方合同条款或签订补充协议的方式，降低各方损失。
寻求法律帮助：
- 若无法与第三方达成一致意见，或认为自身权益受到侵害，建议及时寻求专业律师的帮助。律师可以根据具体情况提供法律意见，并协助处理相关纠纷。
总结：房屋买卖合同撤销后，是否影响与第三方合同的付款责任以及是否需要担责，需根据合同撤销的原因、第三方合同的具体内容以及各方之间的法律关系来判断。在处理此类纠纷时，建议仔细审查合同条款、及时沟通协商，并在必要时寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。