怀孕4个月时，医院私下不可以做亲子鉴定。亲子鉴定涉及到专业的医学检测和法律程序，必须遵循相关的法律法规和伦理规范。下面我详细解释一下这个问题：

1. 法律法规限制：

   • 在我国，进行亲子鉴定需要严格的法律程序和资质要求。通常，亲子鉴定应由具有相关资质的司法鉴定机构或医疗机构进行，并且需要遵循特定的法律程序，如申请、采样、检测、出具鉴定报告等。
   • 医院作为医疗机构，虽然具备进行医学检测的能力，但并不意味着可以随意进行亲子鉴定。私下进行亲子鉴定可能违反相关法律法规，导致鉴定结果无法被法律认可。

2. 伦理道德考量：

   • 亲子鉴定涉及到个人隐私和家庭关系，必须谨慎对待。私下进行亲子鉴定可能会侵犯他人的隐私权，引发不必要的家庭矛盾和纷争。
   • 因此，从伦理道德的角度来看，医院也不应私下进行亲子鉴定，而应遵循专业的伦理规范，保护患者的隐私和权益。

3. 建议与指导：

   • 如果您需要进行亲子鉴定，建议咨询当地的司法鉴定机构或具有相关资质的医疗机构，了解具体的申请流程和所需材料。
   • 在进行亲子鉴定前，应充分考虑其可能带来的法律后果和家庭影响，确保自己的行为符合法律法规和伦理规范。

总之，怀孕4个月时，医院私下不可以做亲子鉴定。如有需要，请务必遵循法律法规和伦理规范，通过正规渠道进行亲子鉴定。