建议通过以下方式委婉且有效地提醒客户按合同付款：

1. 以合同条款为沟通基础，温和提醒履行义务
   可先向客户发送书面或邮件形式的《付款提醒函》，内容需包含合同编号、应付款金额、付款截止日期等关键信息，并附上合同中关于付款条款的原文截图或引用（如“根据合同第X条约定，贵方应于X年X月X日前支付款项”）。这种方式既以合同为依据，又避免了直接指责，给客户留出主动履约的空间。

2. 结合合作情谊，强调付款对双方关系的重要性
   若客户为长期合作伙伴，可在提醒函中增加情感沟通内容，例如：“我们非常重视与贵方的合作，此次付款延迟可能影响项目后续进度，为保障双方权益，烦请尽快安排付款。”通过强调共同利益，降低客户对催款的抵触情绪。

3. 提供便利付款方式，降低客户操作成本
   在提醒时主动提供付款指引，如附上银行账户信息、付款链接或操作流程说明，并注明“如有疑问可随时联系我们协助处理”。此举既体现服务主动性，也能减少客户因操作不便导致的拖延。

4. 设置合理宽限期，保留进一步沟通空间
   若客户仍未付款，可在首次提醒后3-5个工作日内跟进，明确告知：“考虑到双方合作基础，我们愿给予X个工作日的宽限期，若届时仍未收到款项，将不得不依据合同采取进一步措施。”通过“宽限期”传递善意，同时为后续法律手段保留依据。

若客户仍拒绝付款，需采取以下法律措施：

• 发送《律师函》正式警告，明确逾期付款的违约责任（如违约金、利息等）；
  
• 整理合同、履约证据（如送货单、验收单）及催款记录，向法院提起诉讼或申请仲裁；
  
• 申请财产保全，冻结客户账户或等值资产，确保执行可行性。
  

提示：沟通中需避免使用“拖欠”“恶意违约”等攻击性词汇，保持专业态度。若客户提出分期付款等合理诉求，可协商修改合同付款条款并签署补充协议，避免矛盾升级。

如有具体合同条款或客户沟通细节需要分析，可直接向我咨询，我将结合实务经验提供针对性建议。