要证明业主委员会的选举合法，我们可以从法律依据、成立程序的合法性、运行规定的合法性以及法律地位与限制这四个方面来详细阐述：
一、法律依据
业主委员会的合法性首先基于明确的法律规定。根据《中华人民共和国民法典》第二百七十七条，业主有权设立业主大会，并选举产生业主委员会，这从法律层面确立了业主委员会的地位。同时，《物业管理条例》第十五条也详细列举了业主委员会的职责和权力，如召集业主大会、与物业服务企业签订合同等，进一步强化了业主委员会的合法性。
二、成立程序的合法性
业主委员会的成立必须遵循严格的程序，以确保其选举的合法性。这包括：
筹备组组建：由街道办事处、乡镇人民政府组织业主、社区居民委员会等相关人员成立筹备组，负责业主大会的筹备工作。筹备组的组建需符合当地法规规定的程序和人员构成要求，确保筹备工作的公正性和透明度。
业主大会召开：业主大会的召开需有物业管理区域内专有部分占建筑物总面积过半数的业主且占总人数过半数的业主参加，这是确保业主大会代表性和合法性的重要条件。对重要事项进行表决时，需按照法定程序和规则进行，并确保各项决议获得相应比例的业主同意，以体现业主的意志和利益。
备案手续：业主委员会选举产生后，需在规定时间内向当地房地产行政主管部门和街道办事处、乡镇人民政府办理备案手续，提交相关文件，如业主大会决议、业主委员会成员名单等。经审核备案通过后，业主委员会方为合法成立，具备行使职权的资格。
三、运行规定的合法性
业主委员会在运行过程中也需严格遵守相关规定，以确保其行为的合法性和有效性。这包括：
遵循议事规则：业主委员会需严格按照业主大会议事规则开展工作，包括会议通知、出席比例、决策表决等。议事规则是业主大会和业主委员会运作的基础，必须得到严格遵守，以确保决策的合法性和有效性。
依法履行职责：业主委员会应忠实履行法定职责，如代表业主签订物业服务合同、监督物业服务企业等。在履行职责过程中，业主委员会需保持公正、透明，不得超越职责范围行事或怠于履行职责，以维护业主的合法权益。
四、法律地位与限制
业主委员会作为业主大会的执行机构，在物业管理区域内实施自治管理，代表全体业主的利益。然而，业主委员会本身不具备法人资格，不能独立承担法律责任。因此，在涉及诉讼、签订合同等法律事务时，业主委员会需通过召开业主大会并获得授权后才能进行。此外，在与外部实体合作时，业主委员会也需注意其法律地位的特殊性，避免产生法律风险。
综上所述，要证明业主委员会的选举合法，需从法律依据、成立程序的合法性、运行规定的合法性以及法律地位与限制这四个方面进行全面阐述。只有确保这些方面都符合法律法规和业主大会的授权，才能证明业主委员会的选举是合法的，其行使的职权也是有效和合法的。