虚假宣传的投诉由市监局（市场监督管理局）受理，这一做法的法律依据主要来源于《中华人民共和国消费者权益保护法》以及《中华人民共和国反不正当竞争法》的相关规定。以下是对这两部法律中相关条款的详细解释：
《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定：
- 第三十二条：各级人民政府工商行政管理部门和其他有关行政部门应当依照法律、法规的规定，在各自的职责范围内，采取措施，保护消费者的合法权益。市场监督管理局作为工商行政管理部门的一部分，自然承担着保护消费者权益的职责，包括受理对虚假宣传的投诉。
- 第三十九条：消费者和经营者发生消费者权益争议的，可以通过下列途径解决：…（三）向有关行政部门投诉；…。这一条款明确规定了消费者在遇到权益受损时，可以向有关行政部门（包括市场监督管理局）进行投诉。
《中华人民共和国反不正当竞争法》的相关规定：
- 第四条：县级以上人民政府履行工商行政管理职责的部门对不正当竞争行为进行查处；法律、行政法规规定由其他部门查处的，依照其规定。市场监督管理局作为履行工商行政管理职责的部门，有权对不正当竞争行为，包括虚假宣传，进行查处。
- 第八条：经营者不得对其商品的性能、功能、质量、销售状况、用户评价、曾获荣誉等作虚假或者引人误解的商业宣传，欺骗、误导消费者。这一条款直接定义了虚假宣传的行为，为市场监督管理局受理相关投诉提供了明确的法律依据。
- 第二十条：经营者违反本法第八条规定对其商品作虚假或者引人误解的商业宣传，或者通过组织虚假交易等方式帮助其他经营者进行虚假或者引人误解的商业宣传的，由监督检查部门责令停止违法行为，处二十万元以上一百万元以下的罚款；情节严重的，处一百万元以上二百万元以下的罚款，可以吊销营业执照。这一条款规定了市场监督管理局对虚假宣传行为的处罚措施，进一步强化了其受理投诉的职责。
从实际操作的角度来看，当消费者遇到虚假宣传时，可以向当地的市场监督管理局进行投诉。市场监督管理局在接到投诉后，会依法进行调查，并根据调查结果对违法行为进行处罚，从而保护消费者的合法权益。
建议：如果您遇到了虚假宣传的情况，建议您及时收集相关证据，如广告宣传资料、购买凭证等，并向当地的市场监督管理局进行投诉。同时，您也可以咨询我，我会根据您的具体情况，为您提供更详细的法律建议和帮助。