结论前置：对于欠条未约定还款期限，后债务人还了一部分的情况，余款的诉讼时效通常为三年，自债权人知道或应当知道权利受到损害及义务人之日起计算，但需给债务人合理准备时间。同时，这一重新计算的诉讼时效仍受二十年最长诉讼时效期限的限制。

一、诉讼时效的一般原则与特殊起算点

根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。对于未约定还款期限的欠条，诉讼时效并不会立即开始计算，而是处于休眠状态。出借人（债权人）可以随时要求借款人（债务人）还款，但必须给予借款人一定合理的准备时间。这个合理准备时间届满后，若债务人仍未还款，则诉讼时效开始计算。

举例说明：假设甲于2020年1月1日给乙出具了一张未约定还款期限的欠条，2023年3月1日甲向乙要求还款，并给予乙1个月的准备时间。那么，从2023年4月1日起，便开始计算这三年的诉讼时效，至2026年3月31日诉讼时效届满。若乙在2024年1月1日偿还了部分欠款，则诉讼时效在2024年1月1日中断，并从2024年1月2日起重新计算三年，新的诉讼时效截止到2027年1月1日。

二、诉讼时效的中断与重新计算

在诉讼时效期间内，如果发生以下任一情形，诉讼时效会中断并重新计算：

1. 权利人向义务人提出履行请求，无论是通过书面、口头还是其他方式；
2. 义务人同意履行义务，无论是以明示还是默示的方式表示；
3. 权利人提起诉讼或者申请仲裁；
4. 与提起诉讼或者申请仲裁具有同等效力的其他情形，如申请支付令、申报破产债权等。

针对本问题：欠款人偿还部分欠款被视为其同意履行义务的一种表现，符合诉讼时效中断的条件。因此，当欠款人偿还部分欠款时，已经经过的诉讼时效期间归于无效，从中断（即还款）时起，诉讼时效期间重新计算。

三、最长诉讼时效期限的限制

虽然诉讼时效可以因中断而重新计算，但它仍然受到法律对诉讼时效最长保护期限的限制，即二十年最长诉讼时效。这意味着，自权利受到损害之日起超过二十年的，即使诉讼时效期间曾经中断过，债权人也不能再向法院提起诉讼来追讨欠款。然而，在存在特殊情况时，人民法院可以根据债权人的申请决定延长诉讼时效期间。

四、实际操作建议

1. 及时主张权利：债权人应当及时关注自己的权利状况，并在发现权利受到损害后尽快采取行动，如向债务人提出履行请求或提起诉讼等，以避免诉讼时效过期。
2. 保留证据：在主张权利的过程中，债权人应当保留好相关证据，如欠条、还款记录、催款通知等，以便在需要时向法院提供证明。
3. 了解诉讼时效规则：债权人应当了解诉讼时效的相关规定，包括诉讼时效的起算点、中断与重新计算规则以及最长诉讼时效期限等，以确保自己的权益得到有效保护。

总结：对于欠条未约定还款期限，后债务人还了一部分的情况，余款的诉讼时效会从还款之日起重新计算为三年，但仍然受到二十年最长诉讼时效期限的约束。因此，债权人在行使权利时，应充分考虑诉讼时效的相关规定，以确保自身权益得到有效保护。若您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。