有关机关应该执行法院协助执行通知书的法律依据主要来源于《中华人民共和国民事诉讼法》和《中华人民共和国行政强制法》等相关法律法规。以下是对这一问题的详细解析：

一、《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定

1. 查询、扣押、冻结、划拨、变价财产：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百五十三条，被执行人未按执行通知履行法律文书确定的义务时，人民法院有权向有关单位（包括行政机关）查询被执行人的存款、债券、股票、基金份额等财产情况，并要求其协助执行。
   • 人民法院在决定扣押、冻结、划拨、变价财产时，必须作出裁定，并发出协助执行通知书，有关单位必须办理。这为民事诉讼中的协助执行提供了明确的法律基础和操作指南。

2. 拍卖、变卖财产：

   • 同法第二百五十四条规定，在财产被查封、扣押后，若被执行人逾期不履行义务，法院有权拍卖或变卖该财产，此过程同样涉及相关单位的协助义务，如办理财产权证照转移手续等。

二、《中华人民共和国行政强制法》的相关规定

1. 行政机关申请法院强制执行：

   • 根据《中华人民共和国行政强制法》第五十三条，当事人在法定期限内不申请行政复议或者提起行政诉讼，又不履行行政决定的，没有行政强制执行权的行政机关可以自期限届满之日起三个月内，依照本章规定申请人民法院强制执行。这为行政机关在特定情况下申请法院强制执行提供了法律依据。

2. 法院审查与裁定：

   • 该法第五十八条明确了人民法院在作出执行裁定前的程序和时限，包括在特定情形下听取被执行人和行政机关的意见，以及裁定的作出和送达时间。这些条款进一步规范了行政机关协助执行的过程和法律责任。

三、协助执行的具体程序与法律责任

1. 程序：

   • 有关机关在接到人民法院的协助执行通知书后，应首先核实通知书的真实性和合法性。
   • 根据通知书的要求采取相应措施，如提供相关信息、协助查封、扣押、拍卖、变卖财产或办理财产权证照转移手续等。
   • 确保协助执行过程符合法定程序和权限，如保留被执行人必要的生活费用等。

2. 法律责任：

   • 如有关机关未依法履行协助执行义务，可能因执行不能或执行延误等后果承担相应的法律责任，包括但不限于罚款、拘留以及可能的纪律处分。
   • 若有关机关或个人的不协助行为情节严重，还可能触犯《中华人民共和国刑法》第三百一十三条规定的拒不执行判决、裁定罪，面临刑事处罚。

四、实际操作建议

1. 及时响应：收到协助执行通知书后，有关机关应立即组织相关人员对通知书内容进行审核，并确保按照要求及时响应。
2. 准确执行：在执行过程中，应严格按照通知书的具体要求进行操作，确保协助执行事项的准确性和有效性。
3. 沟通反馈：如果在执行过程中遇到问题或困难，应及时与法院进行沟通，并反馈执行情况，以便法院及时调整执行策略。
4. 保护证据：在协助执行过程中，应妥善保管相关证据材料，以备后续可能的法律程序之需。

综上所述，有关机关应该执行法院协助执行通知书的法律依据明确且严格，确保了司法执行的合法性和规范性。有关机关在收到通知书后，应严格按照要求履行协助义务，以确保执行的顺利进行。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。