结论概述：在抵押贷款五十万还了十三万后借款人死亡的情况下，贷款的处理方式及法律后果主要取决于借款人的遗产状况、继承人情况以及贷款合同的具体条款。以下将从多个角度详细分析这一问题。
一、贷款合同及抵押权的处理
贷款合同继续有效：
- 借款人死亡并不直接导致贷款合同的终止。贷款合同是借款人与银行之间的法律协议，其效力不因借款人的死亡而自动消灭。
抵押权的行使：
- 如果贷款合同中设定了抵押物（如房产、车辆等），银行在借款人死亡后仍有权依据合同行使抵押权。这意味着银行可以依法对抵押物进行拍卖或变卖，以优先受偿剩余的贷款本金及利息。
二、遗产继承与债务清偿
遗产继承：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，借款人死亡后，其遗产将由其继承人继承。继承人包括法定继承人和遗嘱继承人。
债务清偿责任：
- 继承人在继承遗产的同时，也承担了清偿被继承人债务的责任。这包括但不限于未偿还的贷款本金、利息及可能产生的违约金等。
- 如果继承人选择继承遗产，则必须同时承担清偿债务的责任。如果继承人放弃继承，则对被继承人的债务不承担清偿责任。
清偿顺序：
- 在清偿债务时，应首先清偿被继承人的债务，然后再分配剩余的遗产。如果遗产不足以清偿全部债务，则按照法定顺序或遗嘱指定的顺序进行清偿。
三、具体法律后果及处理方式
银行追偿：
- 银行在借款人死亡后，会首先尝试与借款人的继承人联系，要求其继续履行还款义务或行使抵押权。
- 如果继承人拒绝履行还款义务或无法联系到继承人，银行可能会通过法律途径（如起诉）来追偿剩余的贷款本金及利息。
抵押物处置：
- 如果贷款合同中设定了抵押物，且银行决定行使抵押权，那么抵押物将被依法拍卖或变卖。所得款项将首先用于清偿剩余的贷款本金及利息，剩余部分（如果有）将归继承人所有。
继承人协商：
- 在某些情况下，继承人之间可能会就遗产分配和债务清偿问题达成协议。例如，他们可能同意出售抵押物以清偿债务，或者协商由某个继承人承担全部或部分债务。
四、特殊情况考虑
无继承人或继承人放弃继承：
- 如果借款人没有继承人或所有继承人都放弃继承，那么其遗产将归国家或集体所有（具体取决于借款人的户籍和财产状况）。在这种情况下，银行仍然有权行使抵押权以清偿债务。
贷款合同条款：
- 贷款合同中可能包含关于借款人死亡后贷款处理的特殊条款。因此，在处理此类问题时，应仔细审查贷款合同的具体条款以确定各方的权利和义务。
建议与行动指南：
- 继承人：如果作为借款人的继承人，建议尽快与银行联系并了解剩余的贷款本金及利息情况。同时，考虑是否愿意继承遗产并承担清偿债务的责任。如果决定继承遗产，应与银行协商制定还款计划或同意银行行使抵押权。
- 银行：作为贷款方，银行应密切关注借款人的还款情况，并在借款人死亡后及时与继承人联系。如果继承人无法联系或拒绝履行还款义务，银行应考虑通过法律途径来追偿剩余的贷款本金及利息。
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