结论前置：私人公司注销倒闭后，劳动仲裁仍然管用，但具体处理方式和效果会因公司注销情况的不同而有所差异。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、公司注销但未清算完毕的情况
法律背景：
- 根据《中华人民共和国公司法》及相关司法解释，公司注销前应当进行清算，清偿债务。若公司未依法清算即注销，债权人（包括员工）有权要求公司股东、董事、控股股东等承担赔偿责任。
劳动仲裁的适用性：
- 在公司注销但未清算完毕的情况下，员工仍可以向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付拖欠的工资、经济补偿金等。
- 若劳动仲裁裁决后，公司仍不履行，员工可以向法院申请强制执行。此时，若公司财产不足以清偿债务，员工可以依据相关法律规定，要求公司股东等承担连带责任。
二、公司已依法清算并注销的情况
法律背景：
- 若公司已依法进行清算，并按照法定程序注销，其法律主体资格已消灭，无法再作为劳动仲裁的被申请人。
劳动仲裁的替代方案：
- 在此情况下，员工无法直接对公司提起劳动仲裁。但若员工认为公司在清算过程中存在违法行为（如未依法通知债权人、未依法分配剩余财产等），可以依法向清算组成员（如股东、董事等）主张权利。
- 具体来说，员工可以依据《中华人民共和国公司法》及相关司法解释，要求清算组成员承担赔偿责任。这通常需要通过民事诉讼程序来实现，而非劳动仲裁。
三、实际操作建议
收集证据：
- 无论公司是否注销，员工都应尽可能收集与劳动关系、工资支付、经济补偿等相关的证据，如劳动合同、工资条、考勤记录、解除劳动合同通知书等。
及时申请仲裁或诉讼：
- 若公司注销但未清算完毕，员工应及时向劳动仲裁机构申请仲裁，并在仲裁裁决后及时向法院申请强制执行。
- 若公司已依法清算并注销，员工应考虑通过民事诉讼程序向清算组成员主张权利。
咨询专业律师：
- 劳动纠纷涉及的法律问题较为复杂，且每个案件的具体情况都有所不同。因此，建议员工在处理此类纠纷时咨询专业律师，以获取更具体、更专业的法律建议。
总结与进一步思考：私人公司注销倒闭后，劳动仲裁的适用性取决于公司是否依法清算并注销。若公司未清算完毕，劳动仲裁仍然是一个有效的维权途径；若公司已依法清算并注销，员工则需考虑通过民事诉讼程序向清算组成员主张权利。在处理此类纠纷时，员工应收集好相关证据，并及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。