结论：在符合特定条件的情况下，保险公司可以告伤者敲诈；但若条件不满足，则不能以敲诈罪名起诉。以下为详细分析：

1. 构成敲诈勒索罪的条件

   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百七十四条，敲诈勒索罪是指以非法占有为目的，对被害人使用实施恐吓、威胁或要挟的方法，非法占用被害人公私财物，从而构成犯罪。若伤者存在故意编造虚假事实、夸大损失程度，并以此向保险公司索要明显超出合理范围的赔偿，且采用威胁、要挟等手段迫使保险公司支付，则可能构成敲诈勒索罪。例如，伤者虚构伤情或伪造医疗证明，威胁如果不满足其高额赔偿要求，就会采取曝光、投诉等手段，给保险公司造成压力，这种情况下就符合敲诈勒索罪的构成要件。
   • 敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。

2. 不构成敲诈勒索罪的情况

   • 如果伤者提出的赔偿要求是基于真实的伤情和合理的损失，即使双方在赔偿金额上存在争议，也不能认定为敲诈勒索。例如，伤者在事故中确实受到了较为严重的伤害，需要长期治疗和康复，其提出的赔偿要求涵盖了医疗费、误工费、护理费等合理费用，只是与保险公司核算的金额有差距，这属于民事赔偿纠纷范畴，应通过协商、调解或民事诉讼等合法途径解决，而不涉及刑事犯罪。
   • 另外，如果伤者只是情绪激动地表达自己的诉求，但没有使用威胁、要挟等手段，也不构成敲诈勒索罪。比如，伤者在与保险公司沟通时言辞激烈，但并没有威胁如果不赔偿就会采取何种不利行动，这种情况下只是双方沟通方式的问题，不构成刑事犯罪。

建议：如果保险公司怀疑伤者存在敲诈行为，应当首先收集相关证据，如伤者的医疗记录、索赔沟通记录、证人证言等，以证明伤者存在故意编造事实、夸大损失或使用威胁手段等行为。然后，可以向公安机关报案，由公安机关进行调查取证，确定是否构成敲诈勒索罪。如果公安机关不予立案，保险公司也可以通过民事诉讼的方式，要求法院对赔偿金额进行裁决，以维护自身的合法权益。

提醒：在处理此类纠纷时，各方都应保持冷静和理性，通过合法途径解决问题，避免矛盾升级。如果你还有其他关于法律方面的问题，欢迎直接向我咨询。