犯罪嫌疑人完成犯罪事实后患上抑郁症，警方会依法进行以下处理：

1. 继续刑事诉讼程序：

   • 抑郁症并不构成中止或终止刑事诉讼的法定理由。警方在发现犯罪嫌疑人患有抑郁症后，仍会继续按照法定程序推进案件的侦查、起诉和审判工作。这包括收集证据、询问犯罪嫌疑人、制作笔录、提请批准逮捕、移送审查起诉等环节。

2. 考虑犯罪嫌疑人的健康状况：

   • 在处理案件的过程中，警方会关注犯罪嫌疑人的健康状况，包括其是否患有抑郁症等精神疾病。如果犯罪嫌疑人的抑郁症症状严重，可能影响到其参与刑事诉讼的能力（如无法清晰表达、无法理解法律程序等），警方可能会考虑采取相应的措施，如安排医疗鉴定、提供必要的医疗照顾等，以确保其合法权益不受侵害。

3. 医疗鉴定与强制措施：

   • 如果警方认为犯罪嫌疑人的抑郁症可能影响其刑事责任能力，可能会委托专业的医疗机构进行鉴定。根据鉴定结果，如果犯罪嫌疑人被认定为无刑事责任能力或限制刑事责任能力，警方可能会根据法律规定采取相应的强制措施，如强制医疗、监视居住等。但需要注意的是，这些措施的实施必须严格遵循法定程序和条件。

4. 保障犯罪嫌疑人的合法权益：

   • 在整个刑事诉讼过程中，警方有义务保障犯罪嫌疑人的合法权益，包括其获得医疗救治的权利。如果犯罪嫌疑人因抑郁症需要接受治疗，警方应当协助其联系医疗机构，并确保其在接受治疗期间不受非法侵害。

5. 与检察机关、法院的协作：

   • 警方在处理此类案件时，会与检察机关、法院保持密切协作。如果犯罪嫌疑人的抑郁症状况成为案件争议焦点之一，警方会配合检察机关、法院进行调查取证工作，确保案件得到公正、公平的处理。