在交通事故中，如果您的手机不幸损坏且没有发票，同时肇事者拒绝赔偿，您可以通过以下详细步骤来维护自己的合法权益：
一、首要任务：收集全面证据
事故现场证据：
- 立即拍摄事故现场的照片和视频，确保画面清晰，能够完整展示手机损坏的状态以及事故的整体情况。这些证据将直接证明手机损坏与事故的直接关联性。
手机价值证据：
- 尽管没有发票，但您可以寻找购买手机时的支付记录，如银行转账记录、支付宝或微信支付凭证等。
- 同时，保留手机的包装盒、说明书等物品，这些也可以作为手机价值的辅助证明。
- 您还可以结合网络上的价格信息，以及相同型号手机的市场价格，来大致确定手机的价值。
- 如果有目击者，收集他们的证言也是很有帮助的。
法律责任证据：
- 报警后，务必获取警方出具的交通事故责任认定书。这份文件将明确事故的责任方，是后续索赔的重要依据。
二、尝试与肇事者及其保险公司协商
直接沟通：
- 准备好上述所有证据，再次与肇事者进行沟通。明确告知其赔偿责任和义务，并提出合理的赔偿要求。
联系保险公司：
- 如果肇事者购买了车险，您可以向肇事者的保险公司报案，并提交所有收集到的证据。要求保险公司在其承保范围内承担赔偿责任。
三、报警并寻求警方协助
- 如果与肇事者的协商没有结果，您应立即报警，并向警方提供详细的事故经过和损失情况。警方可能会进行进一步的调查，或者组织双方进行调解，甚至出具相关建议。
四、考虑第三方评估
- 如果双方对手机的价值存在争议，您可以提议共同委托一家有资质的第三方评估机构对手机进行价值评估。评估结果将作为赔偿的参考依据，有助于解决争议。
五、咨询专业律师
- 如果问题依然没有得到解决，您可以考虑咨询一位交通事故领域的专业律师。律师将为您提供专业的法律意见和指导，帮助您准备法律文件，并规划诉讼策略。
六、提起诉讼
- 如果其他所有方法都无效，您有权向事故发生地或被告住所地的人民法院提起民事诉讼。
- 准备诉讼材料：撰写起诉状，明确原被告信息、诉讼请求、事实与理由，并整理所有证据材料。
- 立案：将起诉状和证据材料提交至法院立案庭，并缴纳相应的诉讼费用。
- 参加庭审：在庭审过程中，陈述事实、出示证据、进行辩论，并等待法院的判决。
- 执行判决：如果胜诉且肇事者未履行赔偿义务，您可以向法院申请强制执行。
七、探索其他赔偿途径
- 检查您自己是否购买了车险或个人财产保险，并确认保单是否覆盖此类损失。如果是，您可以向自己的保险公司提交索赔申请。
注意事项：
- 在整个过程中，请保持冷静和理性，避免情绪化处理问题。
- 保留所有相关的通信记录和文件，这些都将作为后续索赔的重要证据。
- 不要在没有得到适当赔偿的情况下轻易放弃追讨，您的权益值得被保护。
通过遵循上述步骤，您将能够更有效地维护自己在交通事故中因手机损坏而无发票且肇事者拒赔情况下的合法权益。