结论前置：

1. 对于未注明还款日期的借条，在借款人偿还部分款项后，若出借人未再次明确主张剩余债权且借款人未明确拒绝的，诉讼时效一般从借款人最后一次还款的次日起算三年；但若自借款之日起超过二十年的，人民法院将不予保护。
2. 若出借人在借款人偿还部分款项后，再次明确主张剩余债权且借款人明确拒绝的，则诉讼时效从拒绝之日起算三年。

详细分析：

一、诉讼时效的基本规定

根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年，法律另有规定的，依照其规定。同时，该条还规定了最长诉讼时效期间，即自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。

二、未注明还款日期的借条的诉讼时效起算点

对于未注明还款日期的借条，出借人有权随时要求借款人还款，但需给予对方必要的准备时间。诉讼时效的起算点通常是从出借人第一次主张权利（即要求还款）并被明确拒绝或借款人表示不履行义务之日起计算。然而，在借款人已经偿还部分款项的情况下，我们需要进一步分析：

1. 若出借人未再次明确主张剩余债权：

   • 在这种情况下，如果借款人偿还部分款项后，出借人未再次明确主张剩余债权，且借款人也未明确表示拒绝履行剩余债务，那么诉讼时效的起算点可能会变得模糊。但通常认为，从借款人最后一次还款的次日起，出借人应当知道其剩余债权可能受到侵害，因此诉讼时效一般从此时起算三年。
   • 同时，需注意最长诉讼时效期间的规定。即使诉讼时效从最后一次还款的次日起算三年，但如果自借款之日起已经超过二十年，那么人民法院将不予保护。

2. 若出借人再次明确主张剩余债权且借款人明确拒绝：

   • 在这种情况下，诉讼时效的起算点非常明确，即从借款人明确拒绝履行剩余债务之日起计算三年。
   • 同样，需注意最长诉讼时效期间的规定。如果自借款之日起已经超过二十年，那么即使出借人在此期间内多次主张债权，人民法院也将不予保护。

三、诉讼时效的中断与重新计算

在诉讼时效期间内，如果出借人以某种方式（如书面催款函、短信、微信等）向借款人主张过剩余债权，或者借款人同意履行剩余债务，将导致诉讼时效中断。从中断时起，诉讼时效期间重新计算三年。

四、实际操作建议

1. 及时主张债权：出借人应在合理时间内及时主张自己的剩余债权，以避免因超过诉讼时效而丧失法律保护。
2. 保留证据：出借人应保留好所有与主张债权相关的证据，如催款记录、通信记录、转账记录等，以备不时之需。
3. 了解法律规定：出借人在提起诉讼前，应了解清楚当地的法律规定，特别是关于诉讼时效的具体条款，以确保自己的权益得到充分保障。

举例说明：

假设甲于2010年1月1日借给乙10万元，借条未约定还款日期。乙于2015年1月1日偿还了5万元，但之后未再还款。甲于2023年1月1日首次明确要求乙偿还剩余的5万元，但乙拒绝。那么，在此情况下：

• 如果甲未在2023年1月1日之前再次明确主张剩余债权，且乙也未明确表示拒绝履行剩余债务，则诉讼时效一般从乙最后一次还款的次日（即2015年1月2日）起算三年，但此时已超过最长诉讼时效二十年（自2010年1月1日起算），因此人民法院将不予保护。
• 如果甲在2023年1月1日明确要求乙偿还剩余的5万元且乙拒绝，则诉讼时效从此时起算三年。但同样需注意，如果自借款之日起已经超过二十年（即至2030年1月1日），则人民法院也将不予保护。

综上所述，对于未注明还款日期的借条，在借款人偿还部分款项后，诉讼时效的起算点及期间需根据具体情况进行判断。出借人应及时主张债权并保留好相关证据，以确保自己的权益得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。