在交通事故中，如果司机被认定为全责，且总损失金额为37万，那么法律上的处理流程及责任分担将遵循以下详细步骤：

一、立即停车并保护现场

• 立即停车：事故发生后，司机应立即停车，避免继续行驶可能造成的二次伤害。
• 保护现场：尽量保持事故现场的原状，这是交警进行勘查和定责的重要依据。如果因抢救伤者或防止损失扩大需要移动车辆，应标明位置或拍照留证。

二、报警并等待交警处理

• 报警：司机应及时拨打122报警电话，通知交警到场处理。
• 配合调查：向交警如实陈述事故发生经过，提供所有相关证据和信息，如行车记录仪视频、现场照片等。
• 责任认定：交警会根据现场勘查、证人证言、监控视频等证据，出具交通事故责任认定书，明确司机的全责。

三、全额承担赔偿责任

• 赔偿原则：由于司机被认定为全责，因此需要承担全部的赔偿责任。
• 赔偿项目：赔偿项目包括人身损害赔偿（如医疗费、误工费、护理费、交通费、残疾赔偿金、死亡赔偿金等）和财产损失赔偿（如车辆维修费、物品损失等）。
• 计算方式：以实际发生的费用为基础，司机需要承担全部37万的赔偿金额。如果涉及多个赔偿项目，应分别计算后累加。

四、协商或通过法律途径解决赔偿问题

• 自行协商：司机可以与受损方就赔偿问题进行协商，尝试达成和解协议。
• 调解：若协商不成，可以申请交警部门或人民调解委员会进行调解。
• 诉讼：若调解仍无法达成一致，受损方有权向法院提起诉讼，要求司机承担全部赔偿责任。法院将根据事实和法律规定作出判决。

五、涉及保险的处理方式

• 交强险赔偿：无论责任如何划分，首先由交强险在限额内赔偿对方的损失。在本例中，由于司机全责，交强险将在死亡伤残赔偿限额18万元、医疗费用赔偿限额1.8万元、财产损失赔偿限额2000元的范围内进行赔偿。但需要注意的是，这些限额可能不足以覆盖全部损失。
• 商业险理赔：超出交强险部分的损失，如果司机购买了商业三者险，将由商业三者险按责任比例（在此情况下为100%）赔付。若未购买商业险，则由司机自行承担剩余部分的赔偿。
• 代位求偿：如果司机全责且投保了车损险，对于己方车辆的损失，可以向己方保险公司申请代位求偿。由保险公司先行赔付后，再向责任方（即司机自己，但在此情况下实际是向司机的保险责任）追偿。不过，这一步骤更多涉及司机己方车辆的损失处理，与对受损方的赔偿是分开的。

综上所述，作为全责司机，您需要承担全部的赔偿责任，并积极配合受损方和交警部门的处理工作。如果购买了相应的保险，应及时联系保险公司进行理赔。