结论：孩子在学校运动会被同学用石头砸破头，涉及的责任主体及责任类型主要包括侵权同学及其监护人的民事赔偿责任，以及可能涉及的教育机构的未尽到管理职责的补充责任。以下从不同角度详细分析：
一、侵权同学及其监护人的民事赔偿责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”在此情况下，用石头砸破同学头的行为显然构成过错侵权，侵权同学应当承担相应的民事赔偿责任。
- 同时，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十八条：“无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。监护人尽到监护职责的，可以减轻其侵权责任。”由于侵权同学通常为未成年人，属于限制民事行为能力人或无民事行为能力人，因此其监护人需承担侵权责任。
赔偿范围：
- 赔偿范围通常包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入（若孩子因伤误学，家长因陪护而误工，可主张此部分费用）。
- 若造成残疾，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；若造成死亡，还应赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
二、教育机构的未尽到管理职责的补充责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百条：“限制民事行为能力人在学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害，学校或者其他教育机构未尽到教育、管理职责的，应当承担侵权责任。”在此情况下，若教育机构未尽到管理职责，如未及时发现并制止学生的危险行为，或未提供安全的学习环境等，则需承担相应的补充责任。
责任承担方式：
- 教育机构的补充责任意味着，在侵权同学及其监护人无法承担全部赔偿责任时，教育机构需在其未尽到管理职责的范围内承担相应的赔偿责任。这种责任是补充性的，即先由侵权同学及其监护人承担，不足部分再由教育机构承担。
三、实际处理建议
及时就医并保留证据：
- 孩子受伤后，应立即送医治疗，并保留好所有医疗记录、费用单据等证据，以便后续维权。
与侵权同学家长及教育机构沟通：
- 可先尝试与侵权同学的家长及教育机构进行沟通，协商赔偿事宜。若沟通无果，可考虑通过法律途径解决。
寻求法律帮助：
- 若对赔偿事宜存在争议，或无法与侵权同学家长及教育机构达成一致，建议及时咨询专业律师，了解自身权益及维权途径。
总结：孩子在学校运动会被同学用石头砸破头，侵权同学及其监护人需承担民事赔偿责任，教育机构若未尽到管理职责则需承担补充责任。在实际处理过程中，建议及时就医并保留证据，与侵权同学家长及教育机构沟通协商，若无法达成一致则寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。