结论：在公安机关不出具不予立案通知书的情况下，当事人通常可以提请行政诉讼，但需满足一定条件并遵循特定程序。

一、法律依据与背景

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对于控告、举报的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，不予立案，并且将不立案的原因通知控告人。控告人如果不服，可以申请复议。若公安机关在收到控告后，既不立案，又不出具不予立案通知书，这实际上剥夺了控告人申请复议的权利，违反了法定程序。

二、行政诉讼的可行性

1. 行政诉讼的受案范围：根据《中华人民共和国行政诉讼法》的规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。公安机关的不予立案决定（或未出具不予立案通知书的行为，若被视为一种行政不作为）属于行政诉讼的受案范围。

2. 提起行政诉讼的条件：

   • 当事人需有明确的被告，即作出（或应作出）不予立案决定的公安机关；
   • 当事人需有具体的诉讼请求和事实根据，即要求公安机关出具不予立案通知书或确认其不予立案行为违法；
   • 当事人需在法定期限内提起诉讼，通常是在知道或应当知道公安机关不予立案（或未出具不予立案通知书）之日起一定期限内（如六个月内）。

三、实际操作建议

1. 先尝试内部救济：在提起行政诉讼前，当事人可以尝试通过内部救济途径解决问题，如向公安机关的上级机关申请复议或投诉。这有助于节约司法资源，并可能更快地解决问题。

2. 收集证据：当事人应收集并保存好与案件相关的所有证据，包括控告材料、公安机关的回复（如有）、与公安机关的沟通记录等。这些证据将在行政诉讼中起到关键作用。

3. 咨询专业律师：在提起行政诉讼前，当事人应咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能面临的法律风险。律师将能够提供专业的法律意见和帮助当事人制定合适的诉讼策略。

四、可能的法律后果

如果当事人成功提起行政诉讼，并经法院审理认为公安机关的不予立案行为（或未出具不予立案通知书的行为）违法，法院可能会判决公安机关出具不予立案通知书或确认其不予立案行为违法，并可能要求公安机关承担相应的法律责任。

五、特殊情况说明

若公安机关在审查后认为案件不属于刑事案件范畴，而属于治安案件或其他行政案件，并因此决定不予刑事立案，但出具了相应的行政处理决定（如治安管理处罚决定书等），则当事人可能无法直接就“不予立案”行为提起行政诉讼。然而，如果当事人认为公安机关的行政处理决定违法或不当，仍可以就该行政处理决定提起行政诉讼。

六、总结与建议

在公安机关不出具不予立案通知书的情况下，当事人通常可以提请行政诉讼以维护自己的合法权益。但在此之前，建议当事人先尝试内部救济途径，并收集好相关证据。如有需要，请直接向我咨询具体的法律问题和诉讼策略。