核心结论：死刑犯家属若受到死亡威胁，应立即采取以下措施保障自身安全并维护合法权益：1. 优先确保人身安全；2. 固定证据并报警；3. 申请司法保护措施；4. 通过法律途径追究责任。以下从法律实务角度展开分析：

1. 优先确保人身安全

根据《刑法》第234条（故意伤害罪）、第293条（寻衅滋事罪）及《治安管理处罚法》第42条（威胁他人人身安全），任何威胁行为均可能构成违法犯罪。家属应立即：

• 转移至安全场所：避免与威胁方直接接触，必要时可联系当地居委会、村委会或公安机关协助安置；
• 避免单独行动：减少外出频率，夜间避免独行，必要时可申请警方护送；
• 告知亲友或信任的人：形成临时保护网络，确保紧急情况下有人协助。

2. 固定证据并报警

证据是追究责任的关键，需从以下方面收集：

• 书面证据：保存威胁信、短信、邮件、社交媒体留言等书面材料；
• 电子证据：对通话录音、视频威胁内容进行备份（需确保合法性，如未侵犯他人隐私）；
• 证人证言：记录目击者联系方式，必要时申请其出庭作证；
• 立即报警：携带证据向公安机关报案，要求立案侦查。根据《刑事诉讼法》第110条，公安机关对威胁人身安全的报案应当及时受理并调查。

3. 申请司法保护措施

若威胁持续或升级，可依法申请以下保护：

• 人身安全保护令：根据《反家庭暴力法》第27条，虽主要针对家庭暴力，但若威胁方与家属存在特定关系（如亲属、同居关系），可尝试申请；若不符合该法条件，可依据《刑事诉讼法》第64条申请警方对威胁方采取监视居住、取保候审等强制措施（需威胁方已涉嫌犯罪）；
• 警方重点保护：要求公安机关对家属住所、工作场所等区域加强巡逻，或安排专人联系跟进；
• 变更身份信息（极端情况）：若威胁严重危及生命且无法通过其他措施解决，可向公安机关申请变更姓名、住址等身份信息（需严格审核）。

4. 通过法律途径追究责任

威胁行为可能涉及以下法律责任，家属可依法主张权利：

• 刑事责任：若威胁方实施了具体伤害行为或以暴力相逼，可能构成故意杀人罪（未遂）、故意伤害罪等，家属可要求公安机关追究其刑事责任；
• 民事赔偿：根据《民法典》第1165条，威胁行为造成精神损害或财产损失的，家属可提起民事诉讼，要求赔偿医疗费、误工费、精神损害抚慰金等；
• 行政处罚：若威胁行为未达刑事犯罪标准，但违反《治安管理处罚法》，可要求公安机关对威胁方处以拘留、罚款等行政处罚。

补充建议

• 心理疏导：长期受威胁可能导致焦虑、抑郁等心理问题，建议家属寻求专业心理咨询帮助；
• 避免以暴制暴：切勿自行采取报复行为，否则可能从受害者转变为加害者，承担法律责任；
• 持续跟进案件进展：与公安机关保持沟通，了解案件侦查情况，必要时可申请检察机关立案监督。

若家属在处理过程中遇到具体问题（如证据收集困难、警方未及时立案等），可直接向我咨询，我将结合具体案情提供进一步法律建议。