立案后犯罪嫌疑人手机一直关机，这并不影响案件的侦查和推进，公安机关会采取多种措施来查找和抓捕犯罪嫌疑人。具体来说：

1. 技术侦查手段：公安机关在立案后，有权依法采取技术侦查措施，如通过通信运营商获取犯罪嫌疑人的通话记录、短信内容、网络活动信息等，甚至可能通过定位技术来追踪犯罪嫌疑人的行踪。这些措施不依赖于犯罪嫌疑人的手机是否开机，因此即使手机关机，公安机关仍有可能获取到有价值的信息。

2. 其他侦查途径：除了技术侦查手段外，公安机关还会通过其他途径来查找犯罪嫌疑人，如调查犯罪嫌疑人的社会关系、活动轨迹、藏匿地点等。这些工作同样不依赖于犯罪嫌疑人的手机状态，因此即使手机关机，也不会对侦查工作造成太大影响。

3. 法律程序与措施：如果公安机关认为犯罪嫌疑人可能逃匿或隐藏，可以依法发布通缉令，请求其他地区或国家的执法机构协助抓捕。同时，公安机关还可以对犯罪嫌疑人的财产进行查封、冻结等措施，以防止其转移财产或逃避法律责任。

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