结论：若一审判决支持原告其中一项诉讼请求、驳回其他诉讼请求，原告可针对被驳回的诉讼请求部分提起上诉，具体上诉方式及要点如下：

1. 上诉主体与期限

   • 上诉主体：原告作为一审中的胜诉与部分败诉方，有权就其被驳回的诉讼请求部分提起上诉。若存在其他共同原告，需明确上诉意愿是否一致，避免因部分主体未上诉而影响整体诉讼利益。
   • 上诉期限：自收到一审判决书之日起15日内，需向一审法院或其上一级法院提交上诉状。逾期未上诉的，被驳回部分诉讼请求将发生法律效力，丧失二审救济机会。

2. 上诉状的撰写要点

   • 明确上诉请求：需清晰列明对哪些被驳回的诉讼请求不服，例如“请求撤销一审判决中驳回原告关于XX赔偿的诉讼请求，改判被告支付XX元赔偿”。
   • 事实与理由部分：
     • 事实层面：需补充或强调一审中未被充分采纳的证据或事实，例如新发现的证据（如转账记录、聊天记录等）或对一审认定事实的修正（如合同履行地点、违约时间等）。
     • 法律层面：需结合具体法律条文（如《民法典》合同编、侵权责任编等）或司法解释，论证一审法律适用错误或裁判标准不当。例如，若一审以“超过诉讼时效”驳回请求，可引用《民法典》第195条关于诉讼时效中断的规定，证明时效未届满。

3. 上诉后的诉讼策略

   • 证据补充：若一审中因证据不足被驳回，二审中可提交新证据（需符合《民事诉讼法》关于新证据的规定，如一审庭审结束后新发现的证据或因客观原因无法在一审提交的证据）。
   • 法律适用辩论：针对一审法律适用错误，需在二审中重点论证，例如引用最高院类似判例或学术观点，强化己方主张的合理性。
   • 调解可能性：二审中法院可能组织调解，若被告愿意部分让步，可权衡诉讼成本与调解利益，选择接受调解以快速解决纠纷。

4. 风险提示

   • 上诉不必然改判：二审法院可能维持原判、部分改判或发回重审，需做好心理准备。
   • 诉讼成本增加：上诉需缴纳上诉费（按不服部分的金额计算），且可能涉及律师费、差旅费等额外支出。
   • 执行风险：若二审维持原判，被告可能因拖延履行而增加原告的执行成本（如利息、迟延履行金等）。

建议：上诉前需全面评估一审败诉原因、证据充分性及法律适用准确性，必要时可委托律师协助撰写上诉状、整理证据及参与庭审辩论，以提高上诉成功率。若对具体操作流程或法律适用有疑问，可直接向我咨询。