在处理未签订劳动合同而辞退员工的情况时，我们需要依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规来明确补偿标准。以下是对此问题的详细解答：

一、事实劳动关系的认定

即使未签订书面劳动合同，只要员工实际上已经在公司工作，并形成了事实上的劳动关系，法律上就视为双方建立了劳动关系。因此，辞退此类员工时，公司必须遵循相关法律法规，并给予合理的经济补偿。

二、未签订书面劳动合同的双倍工资补偿

法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。

计算方式：

• 双倍工资的计算基数是劳动者的应得工资，这包括计时工资、计件工资、奖金、津贴等所有货币性收入。
• 起算时间为用工之日起满一个月的次日，截止时间为补订书面劳动合同的前一日。
• 如果自用工之日起满一年仍未签订书面劳动合同，则视为已订立无固定期限劳动合同，并应立即补订书面劳动合同，同时支付11个月的双倍工资。

实例：假设员工小李于2024年1月1日入职某公司，一直未签订书面劳动合同，月工资为5000元。那么从2024年2月1日起至2024年12月31日，公司应支付小李双倍工资差额为5000元×11个月=55000元。

三、违法解除劳动关系的赔偿金

法律依据：若用人单位没有合法理由辞退未签订劳动合同的员工，属于违法解除劳动合同，需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

经济补偿与赔偿金的计算：

• 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
• 赔偿金等于经济补偿的两倍。

实例：假设员工小张在公司工作了2年3个月，月平均工资为6000元。公司违法将其辞退，小张可获得的经济补偿为2.5个月×6000元/月=15000元，赔偿金则为15000元×2=30000元。

四、合法解除劳动关系的经济补偿

在特定情形下，如劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行，且经协商未能就变更合同内容达成协议，或用人单位依照企业破产法规定进行重整等，用人单位需向劳动者支付经济补偿，标准同上述经济补偿规定。

五、特殊情况下经济补偿金的限制

如果员工月工资高于当地月平均工资三倍的，经济补偿金的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

六、其他损失的赔偿

因公司违法辞退导致员工的其他合理损失，如失业期间的生活费用、找工作期间的交通费等，员工也有权要求公司赔偿。

七、实际操作建议

由于劳动纠纷处理复杂，具体补偿需根据实际情况判断。若劳动者与用人单位无法就补偿达成一致，可通过劳动仲裁、诉讼等法律途径维权。同时，建议咨询当地劳动法律专业人士或相关机构，以获取最准确的信息和建议，因为补偿标准可能受地区、行业及具体情况影响而有所不同。

综上所述，未签订劳动合同而辞退员工时，公司需依法承担双倍工资补偿及可能的赔偿金责任。同时，无论是合法还是违法解除劳动关系，都应遵循法律规定的经济补偿标准，以确保员工权益得到保障。