中国银行随心智贷逾期一个月，可能会面临以下后果：

1. 信用记录受损：逾期一个月，银行会将此逾期记录上报至央行征信系统，导致个人信用记录受损。这将对未来申请贷款、信用卡等金融业务产生不利影响，甚至可能导致无法获得贷款或信用卡审批。

2. 产生逾期利息和违约金：逾期后，银行将按照合同约定计收逾期利息和违约金。具体金额和计算方式需参考贷款合同中的相关条款。这些额外费用将增加还款压力，且随着逾期时间的延长而不断累积。

3. 银行催收：逾期一个月后，银行可能会通过电话、短信、邮件等方式进行催收，提醒借款人尽快还款。若借款人仍未还款，银行可能会采取更进一步的催收措施，如委托第三方催收机构进行催收。

4. 可能面临法律诉讼：若经过多次催收，借款人仍未还款，银行有权向法院提起诉讼，要求借款人承担还款责任。一旦法院判决借款人败诉，借款人不仅需要承担还款责任，还可能面临强制执行、资产查封等法律后果。

5. 影响其他金融业务：逾期记录不仅会影响在中国银行的金融业务，还可能影响在其他金融机构的金融业务。因为金融机构在审批贷款、信用卡等业务时，都会查询申请人的信用记录。

因此，建议借款人务必按时还款，避免逾期。若已逾期，应尽快与银行协商还款方案，以减轻不良后果。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。